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$$
|log_28^{n}-\sqrt{n^2}|の、nが１から１０までの奇数のとき、\\中央値はいくらか。
$$

$$
方程式\int_{log_28}^\sqrt{n^2}(m-3)dm=|2^\sqrt{16}-log_21024|について\\最小値-8をとるとき、nの値を求めて下さい。
$$

問題文

三角形 $ABC$ があり，以下が成り立っています：

$$AB = 7 ,　\angle A + 2\angle C = 60^{ \circ } .$$

いま，辺 $BC$ 上に $\angle CAP = 3\angle BAP$ をみたす点 $P$ をとり，さらに辺 $AC$ 上に $\angle APQ = 2\angle ACB$ をみたす点 $Q$ をとったところ，$BQ = 2$ が成立しました．このとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a , b$ を用いて $\dfrac{ a }{ b }$ と表せるので，$a + b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

$$
|i^\sqrt{1024}+log_28^{i^2}|
$$

$$
i^\sqrt{1024}
$$

問題文

$$\sum_{k=m}^{n}k!=p$$を満たす自然数m,nと素数pの組(m,n,p)を全て求めよ。

解答形式

mが小さい順に、そして組ごとに改行して解答してください。

例えば(m,n,p)=(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)のときは、
1,2,3
2,3,4
3,4,5
のように入力してください

問題文

$$
x+ \frac{1}{x} =-1
$$
のとき以下の値を求めよ
$$
\sum_{k=1}^{m^{3}-7m+9}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad
$$
ただしmは自然数である。

問題文

$A,B$を全ての要素が$2$以上$2024$以下の自然数からなる集合で$A$と$B$の和集合の要素数が$2023$個であるものとします。$A,B$から要素を自由に$1$つずつ選ぶとき、どのように要素を選んでもその$2$つの数の最大公約数が$1$になるような$A,B$の組$(A,B)$の個数を求めてください。ただし、必要ならインターネットにある素数表を検索して用いても構いません。また、空集合も条件を満たすものとしてください。

問題を少し変更いたしました。

解答形式

答えは正の整数$n$を用いて$2^n$と表せますから$n$を半角で1行目に入力してください。

$$
|i^{2024}|
$$

$$
\int_0^{sin30}(log_2\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{{\sqrt{1024}}^{n}}}}}}}}}-log_216)dn
$$

$$
|2^{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{{1024}}}}}}}}}}}-log_21024|
$$

問題文

以下の式の ( $10$ 進法における) 桁和を求めなさい．$$4+\sum_{k=0}^{99}(500+(-1)^k×513)×10^k$$

解答形式

非負整数で回答して下さい．