$12$桁の整数$111111111111$の素因数の総和を求めてください.
但し,素因数の1つとして4桁の素数が含まれます.
整数で答えてください.
図のような2つの直角三角形があります。青い角度の和が45°のとき、ア:イを求めなさい。
ア÷イの値を半角で入力してください。
例)ア:イ=7:2
→3.5
青い三角形の面積が6のとき、外側の正方形の面積を求めてください。
なお、正方形と円は図中の赤で示した点で接します。
正方形の面積を半角数字で入力してください。
【補助線主体の図形問題 #001】
2013年よりツイッターなどで補助線主体の初等幾何の問題を披露してきたtb_lbと申します。このたびこの「ポロロッカ」を知り、今まで作ってきた問題を再発表することを決めました。気まぐれに投稿してまいりますので、見かけた際にはどうぞよろしくお願いします。
さて、ご挨拶代わりの1問目は易しめに抑えてみました。答えを出すだけなら代数的な処理で十分ですが、いささか面倒です。適切な補助線を引くと面倒な計算を避けることができますので、ぜひ補助線解法を考えてみてください。
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
【補助線主体の図形問題 #052】
今週の図形問題もシンプルにしてみました。シンプルなだけに補助線の威力が存分に味わえるかと思います。頭の中で完全に処理し切れる解法を想定していますが、これだけ単純な構図だと解法も多様でしょう。自由な手法でお楽しみいただければ本望です。
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
$3×3$ のマス目に $1$ から $9$ までの整数を重複なく書き込む方法のうち,辺を共有せず,頂点を共有するどの $2$ マスについても,そこに書き込まれた $2$ 数が互いに素であるものは何通りありますか?ただし,回転や反転によって一致するものも異なるものとみなします.
次の条件を満たす正整数 $a,b$ の組を $1$ つ求め,$a,b$ をこの順につなげて解答してください.
・$a>150$
・$a-b=2^7$
・$a$ に登場する数字の集合を $X$,$b$ に登場する数字の集合を $Y$ ,$ab$ に登場する数字の集合を $Z$とすると(例: $a=1233445$ のとき $X={1,2,3,4,5}$),$|X|=3,Y\subset X,|Z|=3,X=Z$ が成立する.
条件を満たす正整数 $a,b$ の組を $1$ つ解答してください.
$f(n)=n ^{15}+21n^{10}+147n^5+343$ とします.
正整数 $n$ に対して, $f(n)$ が $5^m$ で割り切れるような最大の非負整数 $m$ を $g(n)$ と定めます.$10000$ 以下の正整数 $k $であって $g(n)=k $ を満たす正整数 $n$ が存在するような $k$ の総積を $3343$ で割った余りを解答してください.ただし,$3343$ は素数です.
非負整数を解答してください.
これまでのあらすじ (読まなくてもこの問題を解くことが出来ます)
https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/12
https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/15
勇者・しおしおの飛ばされた異世界では、将棋に草将と言う駒が追加されていました。
この駒は、以下に示された $6$ マスのいずれかに $1$ 手で移動できます。
この異世界での将棋は盤面がデカすぎてクソゲーだったので、しおしおは別の遊びを考えました。
白と黒の $2$ 色で塗られた $9×9$ の盤面について、良い盤面を以下のように定義します。
最下段の黒いマスから上手く選んで草将を置くと黒いマスの上だけを草将が移動して最上段の黒いマスのどれかに行く事が出来る。
以下に具体例を示します。
①の盤面では右から三列目に草将を置き矢印に沿って草将を移動させることで左から二列目の最上段の黒マスに到達できるので良い盤面です。
②の盤面も矢印のように草将を動かせるので同様に良い盤面です。
③の盤面ではどのようにしても最上段の黒いマスにたどり着けないので良い盤面ではありません。
④の盤面はそもそも最下段に黒いマスが無いので良い盤面ではありません。
⑤の盤面も最上段に黒いマスが無いので良い盤面ではありません。
全てのマスが白い盤面に対して、白マスをランダムに $1$ つ選んで黒マスに変更するという操作を良い盤面になるまで繰り返す時、最終的な盤面の黒マスの数の期待値を求めてください。ただし、答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので$a+b$を解答してください。
半角で正整数を解答してください