$$
方程式3^{2x^2+6x+5}=(\frac{1}{\sqrt3})^{2i^2}の小さい方の解を答えてください。
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\int_{cos60°}^{tan45°}(\sqrt{m^{2}+4m+4)}dm+\int_{log_{2}4}^{log_{3}27}(\sqrt{n^{2}+8n+16)}d\\を積分して下さい。
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初項1、公差3における
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{b}_{n}=3n+{a}_{n}
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{c}_{n}={b}_{n}-2n
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における、次の問に答えて下さい。
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(1)一般項{{a}_{n}}を示して下さい。
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(2)一般項{{b}_{n}}をnの式で示して下さい。
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(3)一般項{{c}_{n}}をnの式で示して下さい。
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(4){{b}_{n}}と{{c}_{n}}の積における最小値、nを示して下さい。
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直角三角形Nの頂点A,B,Cをそれぞれ中心とする円Cp,Cq,Crがあり、それぞれ半径はRp,Rq,Rr(Rp<Rq,Rp<Rr)
直角三角形Nの周の長さを2ab(a,bは互いに素)とします。Rp,Rq,Rr,a,bは自然数。円Cpと円Cq,円Cqと円Cr,円Crと円Cpはそれぞれ接しています。
a<b<2aのとき、Rpをa,bを用いて表してください。
半角英数で答えてください。
実数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n = 1, 2, \cdots 2024}$ が以下を満たしています.
・ $a_0 = 0$
・ $0 \leq a_n \leq n+1$
・ $a_{2024} = 2025$
このとき,
$$\sum_{n = 1}^{2024} \sqrt{{a_{n-1}}^2 + {a_{n}}^2 - a_{n-1}a_n - 2na_{n-1} + na_n + n^2}$$
には最小値が存在するため, 最小値を取るときの $a_{1000}$ の値を求めて下さい. ($a_{1000}$ の値は一意に定まります.)
答えは, 互いに素な正整数 $a, b$ によって $\cfrac{b}{a}$ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.
以下の数字をとあるルールに則って変換し、並べると以下のようになりました
35→の後に続く数列を入る数列を40項目まで答えよ
24→24,12,8,6,8,4,6,3,8,6,4,2,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,24,24,24,24,24…以降24が無限に続く30→30,15,10,9,6,5,6,9,6,3,10,8,6,4,2,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,30,30,30,30,30…以降30が無限に続く
25→25,13,9,7,5,5,7,4,9,7,5,3.13,12,11,10,,9,8,7,6,5,4,3,2,1,25,25,25,25,25…以降25が無限に続く
35→(ここから先を答えよ)…以降35が無限に続く
数字は"半角"で、数字の間には","を入れること
$\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{5},\dfrac{5}{8},\dfrac{8}{13},\dfrac{13}{21},\dfrac{21}{34},\dfrac{34}{55},\dfrac{55}{89}$ の中から( $2$ 個以上の)偶数個の異なる分数を選ぶ方法 $2^{8}-1$ 通りに対し,選んだ数の積を考えるとき,それらの総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
半角数字で解答してください.
正の整数 $n$ に対し,「 $n$ の各位の積の一の位」を $f(n)$ とします.
$f(1000)+f(1001)+f(1002)+\cdots+f(9998)+f(9999)$ の値を解答してください.
半角数字で解答してください.
以下の[条件]を満たす $3$ 桁の正の整数(つまり,$100$ 以上 $999$ 以下の正の整数)の組 $(A,B)$ すべてに対し,$A+B$ の値の総和を解答してください.
[条件] $A^2$ の下 $3$ 桁は $B$ であり,$B^2$ の下 $3$ 桁は $A$ である.
半角数字で解答してください.
$\triangle{ABC}$ の外接円を $O_1$ とし,辺 $CA$,辺 $CB$,円 $O_1$ に接する円を $O_2$ とします.また,円 $O_2$ と辺 $CA$ ,辺 $CB$,円 $O_1$ の接点をそれぞれ $P,Q,T$ とし,直線 $TP$ と円 $O_1$ の交点を ${R}(\ne{T})$ とし,直線 $TQ$ と円 $O_1$ の交点を $S(\ne{T})とします.$
$TA=23,TB=35,TC=57$ のとき,(四角形 $ARCS$ の面積):(四角形 $BSCR$ の面積)は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
半角数字で解答してください.