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$$
\frac{l}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}(m>n)\\における、l,m,nであらわされる式を求めて下さい。
$$

問題文

次の極限を求めてください。
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n\frac{{}_nC_k}{(k+1)(n+1)^k}$$

解答形式

解答に分数や特殊な文字、累乗を使用したい場合はTeX記法に則ってください。$は必要ありません。

(α) any cost , it carrys out this job today.

(α)に当てはまる適語を選んで下さい。

(1)At
(2)In
(3)To
(4)Be

$$
({m}{n}）^２(m：奇数,n:偶数）\\について、(m,n)の組み合わせの全体の積は何通りあるか。
$$

$$
({1}{m})^{2}(mは偶数)\\について、全体の積の和を求めて下さい。
$$

$$
({1}{n})^2(nは奇数）\\について、全部の積の和を求めて下さい。
$$

問題文

$x,y,z$は整数とする。また、$p$は素数とする。
$x^{4}+y^{4}+z^{4}-2x^{2}y^{2}-2y^{2}z^{2}-2z^{2}x^{2}-8x^{2}yz-8xy^{2}z-8xyz^{2}=p$となるとき、$p$の最小値を求めよ。また、$p$が最小値をとるとき、$x,y,z$の組を全て求めよ。

解答形式

$p$の最小値を$p$=~の形式で1行目に、$x,y,z$の組を$(x,y,z)$=~ の形式で2行目以降にすべて書いてください。ジャッジは自分でするのであまり気にしないで自由に回答してください。

問題文

三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ 上に点 $X$ をとります．$B,X$ を通り，$\Gamma$ と接する円を $\Omega_1$ とし，$C,X$ を通り，$\Gamma$ と接する円を $\Omega_2$ とします．$\Omega_1$ と $\Omega_2$ は二点で交わっており，$X$ でない方の交点を $Y$ とします．直線 $XY$ は点 $A$ を通り，線分 $XC$ の垂直二等分線も点 $A$ を通りました．
$$BX = 4，CX=1$$を満たす時，三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください．ただし，求める値は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

$$
\sqrt{{n}^{2}}(nは偶数、かつ、一桁)\\について、全部の和を求めて下さい。
$$

$$
\sqrt{{m}^{2}}(mは奇数、かつ、一桁）\\について、全部の積を求めて下さい。
$$

$$
||||||i^{11}||||||\\について求めて下さい。(i<0のとき）
$$

$$
|{\sqrt{i^2}-\sqrt{2i^2}}||{\sqrt{i^2}+\sqrt{3i^2}}||{\sqrt{2i^2}-\sqrt{4i^2}}||{\sqrt{2i^2}+\sqrt{4i^2}}|\\を求めて下さい。
$$
$$
(1)24(2)36(3)42(4)54
$$