$n\;(\geq 2)$ を自然数とするとき,以下の試行を行うことを考える。
試行
$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行い,全員が生存するか全員が脱落するとき,modじゃんけんの結果はあいこになると定義する。
$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行ってあいこになる確率を $p_n$ とするとき
$$
p_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\; p_3=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}},\; p_4=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カキ}}
$$
である。$n$ を $\fbox{ク}$ で割った余りが $\fbox{ケ}$ であるとき
$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{サ}}{\fbox{シ}^n}
$$
であり,そうでないときには
$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{ス}}{\fbox{シ}^n}
$$
である。また,
$$
\lim_{n\to\infty} p_n=\fbox{セ}
$$
が成り立つ。
空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ には,半角数字 0
- 9
または記号 -
のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。
数列 $a_n$ は,$a_1=\sqrt{2-2\cos{\left(\dfrac{882}{5}\right)^\circ}},a_2=1-2\cos{\left(\dfrac{882}{5}\right)^\circ}$ として,以下の漸化式を満たします.
$$a_{n+1}=\dfrac{(a_n)^2-1}{a_{n-1}}(n=2,3,4,\cdots)$$
このとき,$\lfloor (a_{49})^2\rfloor$ の値を求めてください.ただし,$-0.998027<\cos{\left(\dfrac{882}{5}\right)^\circ}<-0.998026$を用いても構いません.
$\lfloor (a_{49})^2\rfloor$ を解答してください.$\lfloor x\rfloor$ は$x$を超えない最大の整数です.
同じ色の線分は同じ長さです。
∠Xの大きさを求めてください。
青と黄、赤と黄緑の線分が重なって一部見づらくなっています。m(__)m
度数法で、0~360の数字を半角で入力してください。
例:∠X=30° → 30
「度」や"°"をつけずに回答してください。
図の条件の下で、ピンクで示した線分の長さを求めてください。
互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $x=\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください。
正整数 $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v_2 (N)$ で表すことにします.
(例 : $v_2(6) = 1, \ v_2(16) = 4$)
このとき,
$$\sum_{i = 1}^{1024} \sum_{j = 1}^{1024} \sum_{k = 1}^{1024} v_2 ( \textrm {gcd} (i, j, k))$$
の値を解答して下さい. ( $\textrm{gcd}(i,j,k)$ で $i,j,k$ の最大公約数を表しているとします.)
半角数字で解答して下さい.
$n$を2以上の整数とし, $f(x)=\sqrt[n]{x^n+nx^{n-1}} (x\geq0)$を考える。
$(1)$ $x$を正の整数とするとき, $f(x)$の値が整数でないことを示せ。
$(2)$ $y=f(x)$, $x$軸, $x=m-1$ ($m$は正の整数) で囲まれた領域内(境界線上も含む)の格子点の数を求めよ。
$(2)$ で $m=100$ のときの答えを半角数字で入力してください。
【補助線主体の図形問題 #032】
3連休の中日になりそこなった日曜の出題はこんな問題にしてみました。今週も変わらず方針・補助線次第で暗算処理可能です。お好きなタイミングで図形問題と戯れてみてください。
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
【補助線主体の図形問題 #068】
今週の図形問題は面積関係の問題です。暗算で処理するには厳しい程度の計算が待っています(とはいえ、そこまで複雑ではありません)。紙&ペンをご用意の上、お楽しみください。補助線が活躍するのはいつも通りです!
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
【補助線主体の図形問題 #070】
今週は、僕の出題では珍しく軌跡の問題です。初等幾何によらない解法も存在しますが、いつも通り補助線でも突破可能です。難易度評価は補助線による解法を想定しており、それ以外の解法が思いついた方にはぐっと簡単に見えるかもしれません。お好みの解法でお楽しみください!
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。