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数学の問題一覧

カテゴリ
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正方形と四分円

tb_lb 自動ジャッジ 難易度:
5月前

10

【補助線主体の図形問題 #068】
 今週の図形問題は面積関係の問題です。暗算で処理するには厳しい程度の計算が待っています(とはいえ、そこまで複雑ではありません)。紙&ペンをご用意の上、お楽しみください。補助線が活躍するのはいつも通りです!

解答形式

${}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\ \mathrm{cm}^2$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$ → $\color{blue}{14.14}$
 入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

求長問題5

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
2年前

10

問題文

※解答形式に注意!

図のように配置された3つの正三角形があります。青い線分の長さを求めてください。
ただし、赤、紫、緑の線分の長さはそれぞれ1,2,3で、隣り合う正三角形の間の角は30°です。

解答形式

答えは自然数$A,B$を用いて$A\sqrt{B}$の形に表せます。$A+B$を解答してください。
ただし、根号の中はできるだけ小さい自然数にしてください。

求面積問題7

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
2年前

10

問題文

三角形の外側に3つの正方形を図のように作りました。橙・緑・紫の線分の長さを3辺の長さとする三角形(赤い三角形)の面積が57のとき、元の三角形(青い三角形)の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

[C] 奇妙な数列

ofukufukufuku 自動ジャッジ 難易度:
2年前

10

問題文

以下のような数列 $\{a_n\}$ を考える。
$$
a_n=1+\sum_{m=1}^{2^n}{\rm floor}\left[\sqrt[n]{\frac{n}{\displaystyle{\sum_{k=1}^m}\; {\rm floor}\left(\cos^2\cfrac{(k-1)!+1}{k}\pi\right)}}\right]
$$なお、${\rm floor}(x)$ は $x$ 以下の最大の整数を返す関数とする。このとき、$a_{20}$ を求めよ。

ただし、必要であれば以下の定理および不等式を用いても良い。

  1. $n$ が素数のとき
    $$\quad(n-1)!\equiv-1 \pmod n$$
  2. $n\geq 1$ のとき
    $$1\leq\sqrt[n]{n}<2$$

解答形式

半角数字で入力してください.

[E] modじゃんけん

hinu 自動ジャッジ 難易度:
2年前

10

問題文

$n\;(\geq 2)$ を自然数とするとき,以下の試行を行うことを考える。


試行

  • $n$ 人が $0,1,2$ のいずれかひとつの数を無作為に選ぶ。
  • 人 $i\; (i=1,2,\cdots, n)$ が選んだ数を $a_i$ とする。各人 $i$ に対して,
    $$
    a_i\equiv\sum_{j=1}^n a_j\; ({\rm mod} \; 3)
    $$ならば人 $i$ は生存し,そうでないなら脱落する。この試行をmodじゃんけんと呼ぶことにする。

$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行い,全員が生存するか全員が脱落するとき,modじゃんけんの結果はあいこになると定義する。

$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行ってあいこになる確率を $p_n$ とするとき

$$
p_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\; p_3=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}},\; p_4=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カキ}}
$$

である。$n$ を $\fbox{ク}$ で割った余りが $\fbox{ケ}$ であるとき

$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{サ}}{\fbox{シ}^n}
$$

であり,そうでないときには

$$
p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{ス}}{\fbox{シ}^n}
$$

である。また,

$$
\lim_{n\to\infty} p_n=\fbox{セ}
$$

が成り立つ。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ には,半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。

面積の二乗の小数部分

zyogamaya 自動ジャッジ 難易度:
2年前

10

問題文

どの辺の長さも整数である$\triangle ABC$の面積を$S$とする。$S^2$の小数部分を求めよ。

解答形式

とりうるすべての小数部分を小さい順に都度改行、列挙してください。
例:
「0,1/2,1/3,1/6,1/√5」の場合、

0
0.5
0.'3'
0.1'6'
1/\sqrt{5}


問題文

次の条件を満たす直角三角形の内,面積が最大となる三角形の3辺の長さを昇順で答えてください。$2021^2=4084441$

条件
  • 3辺のそれぞれの長さが自然数である。
  • ある1つの辺の長さが2021である。

解答形式

半角数字で答えてください。
半角スペース区切りで答えてください。

3 4 5

王道の整数問題

nemuri_neco 自動ジャッジ 難易度:
5月前

10

問題文

$\frac{7p+q}{7q+p}$が整数となるような異なる素数$(p,q)$の組み合わせを全て求めよ。

解答形式

$p$と$q$を横につなげて解答してください。解答が2つ以上ある場合は$p$の小さい順に改行して記入してください。$p$が等しい解答が2つ以上あった場合、$q$の小さい順に改行して記入してください。

解答例)$(p,q)=(2,11),(7,17),(7,29)$のとき、以下のように解答します。
211
717
729

求面積問題14

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
2年前

9

問題文

周の長さが30である長方形ABCDがあります。辺CD上に∠APB=90°となるような点Pをとれるとき、長方形ABCDの面積の最大値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

求長問題30

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
14月前

9

問題文

図の条件の下で $x$ の長さを求めてください。
解答形式に注意してください。

解答形式

$x^2$ の値を半角数字で解答してください。

整数問題②

lucy 自動ジャッジ 難易度:
2年前

9

問題文

$p^2+q^2+r^2+s^2=t^4+1$を満たす素数$(p,q,r,s,t)$の組を全て求めよ。但し$p\leq q\leq r\leq s$とする。

解答形式

一行目に式を満たす組が何組あるか答えよ。また、そのような組の中で、$t$が最大であるものについて、$p,q,r,s,t$の値をそれぞれ2行目、3行目、4行目…へ記入せよ。いずれも数字のみ記入せよ。

(本当は解き方まで見たいですが、個別判定が大変なのでこの形式にします。できれば、なぜそうなるかもしっかり考えてください。)

18月前

9

【補助線主体の図形問題 #023】
 今回は久しぶりに求角問題を用意しました。うまい補助線が引けるとスパッと解けるようになっています。補助線と共に楽しいひと時をお過ごしください。

解答形式

${}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
(例) $12^{\circ}$ → $\color{blue}{12.00}$  $\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
 入力を一意に定めるための処置です。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。