数学の問題一覧

問題文

$x^4+y^4+z^4+w^4+(x^2+y^2+z^2+w^2)(xy+xz+xw+yz+yw+zw)+4xyzw$
を因数分解せよ。

解答形式

TeXで入力してください。項の順番に関しては辞書式順で入力してください。字数の高い因数を先に書いてください。
例1:
$(x^2+y^2+z^2+w^2)(x+y+z+w)$と答えるには
(x^2+y^2+z^2+w^2)(x+y+z+w)を入力してください。
例2:
$x,y,z,w$から重複せず3文字を選び、かけ合わせた項4つを辞書式順に並べると
$xyz,xyw,xzw,yzw$

問題文
三角形ABCがあり、角BAC＝90°、BCの中点をMとしたとき角ACB＝45°でありAMの長さは2である。この三角形の面積を求めなさい。

解答形式

問題文

次の文章の空欄を埋めてください。ただし、以下の文章全てにおいて$x>0$とします。
$(1.1)$
$f(x)=x+4x^{-2}$の最小値を、微分を用いて求めよう。まず、
$$f'(x)=\fbox ア-\frac{\fbox イ}{x^3}$$である。$f'(x)$の符号は$x=\fbox ウ$の前後でのみ変化するから、$f(x)$は$x=\fbox ウ$で極値をとり、さらにそれが最小値であることが分かる。したがって、$f(x)$の最小値は$\fbox エ$である。

この問題は$(1.2)$に示すような解法が知られている。

$(1.2)$
相加相乗平均の関係式を用いて$f(x)$の最小値を求める。$a_1+a_2=1$を満たす$0$以上の実数$a_1,a_2$を用いて、
$$f(x)=a_1x+a_2x+\frac{4}{x^2}\ge3\left(a_1x\cdot a_2x\cdot\frac{4}{x^2}\right)^{\frac 13}=3(4a_1a_2)^{\frac 13}$$とする。いかなる$a_1,a_2$の組に対してもこの不等式は成立する。一方で、等号を成立させる$x$が存在するには、$a_1x=a_2x$でなければならないから、$a_1=a_2$となる。このとき、等号成立条件
$$a_1x=a_2x=\frac{4}{x^2}$$を満たす$x$は存在して、その値は$x=\fbox ウ$で、不等式の右辺の値は$\fbox エ$となり、最小値が得られる。

$(2)$
$g(x)=x+3x^{-1}+x^{-2}$の最小値を、$(1.2)$の解法に準じて求めよう。
$(1.2)$中の議論と同様に、等号成立条件を考えれば、同類項の係数（前問では$a_1,a_2$にあたる）が異なってはならないと言える。したがって、$3$つの自然数$b_1,b_2,b_3$を用いて、$$g(x)=b_1\cdot \frac{x}{b_1}+b_2\cdot\frac{3}{b_2x}+b_3\cdot\frac{1}{b_3x^2}$$と考えることにする（即ち、$b_1$個の$x/b_1$、$b_2$個の$3/b_2x$、$b_3$個の$1/b_3x^2$の和と考える）。相加相乗平均の関係式を適用したときに、累乗根の中身が定数となるには、$b_1=\fbox オb_2+\fbox カb_3$であればよい。等号成立条件は$$\frac{x}{b_1}=\frac{3}{b_2x}=\frac{1}{b_3x^2}$$である。中辺と最右辺の等式から、$x=b_2/(3b_3)$であり、これと最左辺・最右辺の等式から、$$\frac{b_2}{3b_3\left(\fbox オb_2+\fbox カb_3\right)}=\frac{9b_3}{b_2^2}$$整理して、$$b_2^3-\fbox{キク}b_2b_3^2-\fbox{ケコ}b_3^3=0$$この式を解くと、$b_2/b_3=\fbox サ/\fbox シ$を得られるので、$b_1:b_2:b_3=\fbox ス:\fbox セ:\fbox ソ$であれば良いことが分かる。これより、$$g(x)\ge\left(b_1+b_2+b_3\right)\left(\left(\frac{x}{b_1}\right)^{b_1}\left(\frac{3}{b_2x}\right)^{b_2}\left(\frac{1}{b_3x^2}\right)^{b_3}\right)^{\frac{1}{b_1+b_2+b_3}}=\frac{\fbox{タチ}}{\fbox ツ}$$であり、$x=\fbox テ$で等号が成立して、最小値となる。

解答形式（要注意!）

以下のこと（特に2つ目）に注意して解答してください。

・$\fbox ア～\fbox テ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。
・式の係数・分母の空欄$\left(\fbox オ・\fbox カ・\fbox シ・\fbox ツ\right)$には$1$が入る可能性もあります。
・$\fbox ス～\fbox ソ$は、$\fbox ス+\fbox セ+\fbox ソ$が最小となるようにしてください。また、分数は既約分数にしてください。

文字列アイウエを$1$行目
文字列オカキクケコを$2$行目
文字列サシスセソを$3$行目
文字列タチツテを$4$行目
に入力して解答してください。

$以下の数列\text{{$a_n$}}の一般項を求めよ.$

$$a_1=\dfrac{1}{12},\,a_{n+1}=\dfrac{a_n}{3^{n+1}a_n+3}$$

問題文

4次関数のグラフ$C:y=f(x)$は2つの変曲点$\mathrm{P},\mathrm{Q}$をもち、1本の複接線が引けて、異なる2点$\mathrm{A}(\alpha,f(\alpha)),\mathrm{B}(\beta,f(\beta))$が接点となる。また$f(x)$の4次の係数は1である。このとき、$\displaystyle\frac{d^3}{dx^3}f(x)=0$の解を$x=\gamma$、$\mathrm{C}(\gamma,f(\gamma))$、複接線を$l_1$、直線$\mathrm{PQ}$を$l_2$、$C$上の点$\mathrm{C}$における接線を$l_3$、$l_2$と$C$の交点のうち$\mathrm{P},\mathrm{Q}$と異なる点をそれぞれ$\mathrm{R},\mathrm{S}$、$l_3$と$C$の交点のうち$\mathrm{C}$と異なる点をそれぞれ$\mathrm{D},\mathrm{E}$とおく。ただし$x$座標について、$\mathrm{A}$より$\mathrm{B}$、$\mathrm{P}$より$\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$より$\mathrm{S}$、$\mathrm{D}$より$\mathrm{E}$の方が大きいとする。

(1)直線$l_1,l_2,l_3$は互いに平行であることを示せ。

(2)線分長の2乗比$\mathrm{AB}^2:\mathrm{PQ}^2$を求めよ。

(3)線分長の2乗比$\mathrm{RS}^2:\mathrm{DE}^2$を求めよ。

(4)直線$l_2$と$C$で囲まれる部分の面積$S$を$\alpha,\beta$で表わせ。

解答形式

(2),(3),(4)の答えはそれぞれ一桁の自然数a,b,c,d,e,f,g,h,i,jを用いて以下のように表されます。
センター、共通テスト形式で埋め、10桁の自然数abcdefghijを答えてください。
$\mathrm{AB}^2:\mathrm{PQ}^2=a:b$
$\mathrm{RS}^2:\mathrm{DE}^2=c:d$
$S=\displaystyle\frac{e\sqrt{f}}{ghi}(\beta-\alpha)^j$

問題文

座標平面上の $|x|≦1$ かつ $|y|≦1$ を満たす領域を $D$ とする。また傾き $1$ の直線を $l$, $y=x^2$ のグラフを平行移動したグラフ $C$ の頂点を $P$ とする。$l$ を $D$ と共有点を持つように, $C$ を $P$ が $D$ 内に存在するように無作為にとるとき, $l$ と $C$ が交わる確率を求めよ。

解答形式

少数第4位を四捨五入して, 少数第3位までを,半角数字で解答してください。

問題文

長さnのロープがあるとき、ロープの始点と終点をくっ付けて出来る平面図形の最大の面積または近似値を求めよ。ただし、ロープは自由自在に曲げられ、無限の頂点を持つものとする。

解答形式

答えとその理由を書いてください。

問題文

θの方程式　sin^2θ-cosθ+a=0 (0≦θ<2π)の解が偶数個存在する場合における定数aのとりうる値の範囲を求めよ。

解答形式

答えのみ

問題文

2つのパラメーター(0,0)
がある
一回の操作でどちらかの数字を1増やすか減らすかする
それぞれ1/4の確率で起こる
この時操作をした回数が2n(nは自然数)の時パラメーターが(0,0)になる確率はnが大きければ大きいほど低くなることを証明せよ

解答形式

証明形式

問題文

$x,y,z$は全て正の実数とします。次式で定義される$f(x,y,z)$について、次の値を求めてください。$$f(x,y,z)=\frac{1+x^2}{y+z}+\frac{1+y^2}{z+x}+\frac{1+z^2}{x+y}$$
$(1)$ $f(x,y,z)$の最小値
$(2)$ $x+y+z=1$のとき、$f(x,y,z)$の最小値
$(3)$ $x^2+y^2+z^2=1$のとき、$f(x,y,z)$の最小値

解答形式

$(1)$の答えは$\fbox ア$、$(2)$の答えは$\fbox イ$、$(3)$の答えは$\fbox ウ\sqrt{\fbox エ}$です。
文字列「アイウエ」を解答してください。

問題文

共通部分を持たない2円と、その共通接線があります。図中の同じ色で示した線分の長さが等しいとき、2円の半径比を求めてください。

※図は正確でないことに注意

解答形式

大円の半径を$R_1$、小円の半径を$R_2$とすると、$R_1:R_2=\fbox ア:\fbox イ$です。文字列 アイ を解答してください。
例：$R_1:R_2=5:2$ であれば 52 と解答

2=1
4=11
8=7
25=6
42=21
100=□

ヒント
数字を変換してください。