数学の問題一覧

問題文

青い三角形の面積が6のとき、外側の正方形の面積を求めてください。
なお、正方形と円は図中の赤で示した点で接します。

解答形式

正方形の面積を半角数字で入力してください。

問題文

$f(x)=x^2-4x+6$とする。$f(f(f(f(f(p+2)))))$が素数となるような素数$p$を全て求めよ。

解答形式

ない場合は「0」、ある場合は小さい順に半角英数字で入力してください。

問題文

$x$ についての2次方程式
$$
3x^2+(5k-4)x+4k = 0
$$が異なる2つの正の実数解 $\alpha,\beta\;(\alpha<\beta)$ を持ち、$\beta$ の小数部分が $\alpha$ である。このとき、$k$ の値を求めよ。

解答形式

解答は
$$
\frac{N-\sqrt{M}}{L}
$$と表わされる（$N,M,L$ は自然数）。分数や平方根は最も簡単な形にしてある。解答欄には $N, M, L$ の値をそれぞれ 1, 2, 3 行目に半角数字で入力せよ。

${}$　西暦2022年問題第3弾です。今回は数表から西暦である数を探すという入試問題にありがちな設定の問題にしてみました。いろいろな方法が通用するように調整しています。お好みの方法でどうぞお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は2022が登場した回数をそのまま単位なしで入力してください。
（例） 103回 → $\color{blue}{103}$

問題文

次の条件を満たす正整数 $a,b$ の組を $1$ つ求め，$a,b$ をこの順につなげて解答してください．
・$a>150$
・$a-b=2^7$
・$a$ に登場する数字の集合を $X$，$b$ に登場する数字の集合を $Y$ ，$ab$ に登場する数字の集合を $Z$とすると(例: $a=1233445$ のとき $X={1,2,3,4,5}$)，$|X|=3,Y\subset X,|Z|=3,X=Z$ が成立する．

解答形式

条件を満たす正整数 $a,b$ の組を $1$ つ解答してください．

問題文

全長 $L$ mのリムジンが、下図のように直角に曲がったトンネルを、幅 $a(>0)$ mの道から幅 $b(>0)$ mの道へ曲がろうとしている。
このとき、リムジンがトンネルを曲がることのできる最大の全長 $L_{max}$ (m)を求めよ。なお、車の全幅は考えなくて良いものとする。

解答形式

$a=5,b=6$のときの$L_{max}$の値を関数電卓を用いて計算せよ。答えは、小数第４位の数字を四捨五入したものを解答せよ。

問題文

$\lfloor\pi\rfloor$ を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

【補助線主体の図形問題 #115】
　今週の図形問題です。今回は重めの問題にしてみました。とはいえ、補助線が活躍するのはいつも通りです。じっくり腰を据えて挑戦してください！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

図の条件の下で、青で示した角の大きさ $x$ を求めてください。

解答形式

$x=a$ 度（$0\leq a\lt 180$）です。整数 $a$ の値を半角数字で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #001】
　2013年よりツイッターなどで補助線主体の初等幾何の問題を披露してきたtb_lbと申します。このたびこの「ポロロッカ」を知り、今まで作ってきた問題を再発表することを決めました。気まぐれに投稿してまいりますので、見かけた際にはどうぞよろしくお願いします。
　さて、ご挨拶代わりの1問目は易しめに抑えてみました。答えを出すだけなら代数的な処理で十分ですが、いささか面倒です。適切な補助線を引くと面倒な計算を避けることができますので、ぜひ補助線解法を考えてみてください。

解答形式

${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 大雑把な方針の選択肢
2. ヒント1の続き
3. 補助線の方針
4. 上記のヒントを無視して強引な解法をとるなら

問題文

$x!+2=y^4+5y$を満たす自然数$(x,y)$の組をすべて求めよ。

解答形式

以下の文章に入る$a,b,c$の値を入力せよ。1行目に$a$を、2行目に$b$を、3行目に$c$を入力すること。

条件を満たす自然数の組は$a$組存在する。その組の中で、$x$が最大となるような組は$(x,y)=(b,c)$である。

【補助線主体の図形問題 #023】
　今回は久しぶりに求角問題を用意しました。うまい補助線が引けるとスパッと解けるようになっています。補助線と共に楽しいひと時をお過ごしください。

解答形式

${\renewcommand\deg{{}^{\circ}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$　　$\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

1. 全体の方針をぼんやりと
2. ヒント1を具体的に
3. ヒント2の続き