積分1

問題文

$$
f(x)=log_x 2とする。y=f(f(f(x)))について、
$$
(1)　定義域を述べよ。
(2)　y=2のときxの値を求めよ。

$$
|\frac{cos180°}{sin60°}||\frac{cos60°}{tan135°}||\frac{sin90°}{cos180°}|
$$

問題文

$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$，外心を $O$ とする．直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし，直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると，以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき，線分 $AI$ の長さは，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．

$$
log_{x}x^{log_{3}27^{log_{5}125}}
$$
$$
を計算してください。
$$
$$
(1)9(2)10(3)11(4)12
$$

問題文

$AB=5,AC=9$ なる三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ の中点を $D$ とすると，$B$ における $\Gamma$ の接線と半直線 $DA$ が点 $E$ で交わりました．また，辺 $AC$ 上の点 $F$ が $\angle CDF=\angle BEA$ をみたしています．$DF=\dfrac{10}{3}$ のとき，線分 $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください。

一次関数が(p＋q)を満たすとき

y=1/2x＋(p＋q)がx＋(p＋q)＝１２を満たすとき、xの値を求めなさい。ただし、xは自然数であるものとする。

解答形式

数字は全角で入力してください。

問題文

101^100の下位5桁(万の位まで)を求めよ。

解答形式

半角でお願いします。

問題文

nを自然数とする。各位の数の積をs(n)とするとき、s(n)=nを満たすnの総和を求めよ
ただし、nが１桁の時s(n)=s(10＋n）が成り立つとする

解答形式

半角数字で入力してください

問題文

$f(x)$ は $x$ が $3$ で割り切れる回数を示します．
このとき，$$f(\prod_{k=2}^{2024} \lfloor \log_2 k\rfloor )$$ を求めて下さい．

解答形式

一意の整数値に定まるので、それを半角で解答してください．

問題文

73²⁰²³を17で割った余りを求めよ。

解答形式

半角で答えてください

問題文

$p^{2}q^{3}+r^{2}=s^{4}$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ は $n$ 組あり，それぞれの組について $S=p+q+r+s$ を求めると，$S$ の総積は $N$ である．
$n$ および $N$ の値を求めよ．

解答形式

一行目に $n$ の値を，二行目に $N$ の値を，それぞれ半角数字で解答してください．

問題文

内接四角形ABCDとその対角線の交点Mについて、図のような条件が与えられたとき、線分ACの長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。