$\sqrt{N+\sqrt{8999\cdot9001}}$が実数となり二重根号が外れるとき、 整数$N$の値を全て求めてください。 ただし$9001$,$8999$は素数であることが保証されます。
また、二重根号が外れるとは、 その値を正の有理数$a,b\cdots$を用いて$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\cdots$と表せることをいいます。
$N$として考えうる全ての値の総和を求めてください。
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実数$x$についての以下の方程式を解いてください。($0\leq x\leq 1$) $$ \tan(\color{red}{\sin^{-1}x})+\cot(\color{blue}{\cos^{-1}x})=\sin(\color{green}{\cot^{-1}x})+\cos(\color{purple}{\tan^{-1}x}) $$ ただし$\cot{x}$は$\frac{1}{\tan{x}}$を意味し、$\sin^{-1}x,\cos^{-1}x,\cot^{-1}x,\tan^{-1}x$でそれぞれの逆関数を表すこととします。
(※定義域と値域の取り方はWikipedia等にあるような一般的なものを用います)
解は一つに定まり、整数$a,b$を用いて$x=\sqrt{a+\sqrt{b}}$と書けるので、$a^{10}+b^{10}$の値を半角英数字で入力してください。
$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$
$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。
$$\sum_{k=m}^{n}k!=p$$を満たす自然数m,nと素数pの組(m,n,p)を全て求めよ。
mが小さい順に、そして組ごとに改行して解答してください。
例えば(m,n,p)=(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)のときは、 1,2,3 2,3,4 3,4,5 のように入力してください
$$ x+ \frac{1}{x} =-1 $$ のとき以下の値を求めよ $$ \sum_{k=1}^{m^{3}-7m+9}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad $$ ただしmは自然数である。
実数 $x,y$ が $\bigg\{\begin{aligned} 20x+12y=20 \\ 23x+31y=24 \end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき,$2023x+1231y$ の値を求めて下さい.
半角数字で解答してください.
素数 $p,q$ が $$4^p+2^p+1=p^2q$$を満たします. このようなすべての組 $(p,q)$ に対して, $p+q$ の総和を解答してください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
$n^4+4n^2-38n+69$ が平方数となるような正整数 $n$ の総和を求めてください.
半角数字で入力してください.
複素数の数列$\lbrace z_{n}\rbrace (n=0, 1, 2, ...)$は $$ z_{n+1}=\left\lvert\frac{z_{n}+\bar{z_{n}}}{2}\right\rvert z_{n} (n=0,1,2,...) $$ を満たしている。このとき,$\displaystyle \lim_{n\to \infty}z_{n}$が収束するような$z_{0}$の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。
この存在範囲を数式で表現してください。最も簡単な1つの等式あるいは不等式を用いてください。
以下の極限値を求めよ。
$$\lim_{n\rightarrow{\infty}}\biggr(\lim_{x\rightarrow{0}}\prod_{k=1}^n\frac{kx}{\sin(k+1)x}\biggr) $$
自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します. $$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.
追記 =8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました 大変申し訳ありません
$1$ 以上の整数 $n$ について関数 $f(n)$ は以下の式により定義されます.$$f(n)=\sum_{k=1}^{2n}\prod_{m=0}^{2^9}(k-m)$$ このとき,$f(n)=0$ の成り立つ $n$ の総和は,素数 $p$ と整数 $m$ を用いて,$pm$ と示せるので,$p+m$ の最小値を回答してください. ただし,素数表:https://onlinemathcontest.com/primes は用いても構いません.
非負整数で回答してください.
$x$に関する3次方程式$x^3+ax+b=0$($a,b$は実数)の3解の絶対値がすべて1以下となる$a,b$の必要十分条件が表す領域を$ab$平面に図示し、その面積を求めよ。
面積の値のみを解答してください。答えは分数になるので/を用いて入力してください。 例:$\displaystyle\frac{5}{7}$→5/7