定積分 $\displaystyle\int_0^1\sqrt[dx]{dx^{dx}+dx^{dx+1}}$ を計算せよ.
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$(1)$ $1-\dfrac{2}{x}=\sqrt{2-\sqrt 3}$ のとき,$x^3=\dfrac{ax+b}{|x^2-20|}$ となる有理数 $a,b$ を求めよ. $(2)$ $60|p-q\sqrt 3|\lt 1\leqq p-4\leqq 100$ を満たす整数 $p,q$ は存在するか.
命題が真なら $|a+1|$,偽なら $|b+1|$ の値を半角数字で入力してください.
以下の極限値を求めよ。
$$\lim_{n\rightarrow{\infty}}\biggr(\lim_{x\rightarrow{0}}\prod_{k=1}^n\frac{kx}{\sin(k+1)x}\biggr) $$
数列$a_n$を次のように定める。 $a_1=1$ $a_n=n^{a_{n-1}}$ このとき、以下の問いに答えなさい。 (1)$a_{2023}$の一の位はいくつか求めよ。 (2)$a_{2024}$の一の位はいくつか求めよ。 (3)$a_{2024}$の百の位はいくつか求めよ。
(1) ~~~ (2) ~~~ の形でお願いします。問題番号と解答、一つの小問の解答と解答の間は半角スペースを開けてください。 解答は数字のみお書きください。
以下の値を求めてください。 $$ \begin{align} \sum_{k=1}^{33333^2+200\cdot33333}\sqrt{\frac{2k+19999-2\sqrt{k^2+19999k+99990000}}{k^2+19999k+99990000}} \end{align} $$
答えは互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表されるので、 $p+q$の値を解答してください。
(誰かがもう作ってそうです...知っている方がいれば教えてほしいです)
素数 $p,q$ が $$4^p+2^p+1=p^2q$$を満たします. このようなすべての組 $(p,q)$ に対して, $p+q$ の総和を解答してください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
$n,m \ (m\geq n)$を正整数の定数とし、多項式$f(x)$を$f(x)=x^m$で定めます。 $f(x)$を$(x-2)^n$で割った商$Q(x)$について、$Q(2)=40$が成立しました。
$(n,m)$の組としてあり得るもの全てについて、$nm$の総和を求めてください。
正整数値を半角で入力してください。
次の$x,y$についての連立方程式を実数の範囲で解いてください。
$$ \begin{cases} \Large\frac{9}{x^2-xy+y^2}+\frac{7}{x^2+xy+y^2}=\frac{x}{256} \\ \Large \frac{9}{x^2-xy+y^2}-\frac{7}{x^2+xy+y^2}=\frac{y}{256} \end{cases} $$
解となる$(x,y)$の組全てについて$x+y$を足し合わせたものを半角英数字で入力してください。
11の100乗(11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕ 11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕ 11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕ 11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕ 11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11)の下6桁 を、パスカルの三角形を利用して求めなさい。ただし、1234567890の下6桁は567890です。
実数 $x,y$ が $\bigg\{\begin{aligned} 20x+12y=20 \\ 23x+31y=24 \end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき,$2023x+1231y$ の値を求めて下さい.
半角数字で解答してください.
${}$ 西暦2024年問題第3弾です。今回は中学入試風の規則性の問題となりました。軽く解いてやってください。
${}$ 解答は黒石の個数を単位なしでそのまま入力してください。 (例)103個 → $\color{blue}{103}$
赤玉 $20$ 個と青玉 $21$ 個の計 $41$ 個の玉を横一列に並べます. このとき, 左から $1$ 番目から $20$ 番目までの玉の中に含まれる赤玉の個数を $R$, 青玉の個数を $B$, 左から $22$ 番目から $41$ 番目までの玉の中に含まれる赤玉の個数を $r$, 青玉の個数を $b$ とします. 玉の並べ方は全部で $ \binom{41}{20}$ 通りありますが, その全ての並べ方に対する $Rb + Br$ の値の相加平均を求めて下さい.
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{b}{a}$ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.
$2^{p}+7^{q}=r^{p+q-r}$を満たす素数の組$(p,q,r)$をすべて求めよ.
文字列$pqr$を,半角数字で解答してください.解が複数ある場合は, (1) $p$の値が小さい順 (2) $p$の値が等しい組は,$q$の値が小さい順 (3) $p,q$の値がともに等しい組は,$r$の値が小さい順 に,1行に1つずつ書いてください.
どなたか素数に限らない整数解を全て求めてくださるとありがたいです.