$n$ を正の整数とする.縦 $3$ 行,横 $3$ 列からなるマス目の各マスに $n,n+1,\ldots,n+8$ を重複なく書き入れる方法であって,以下を満たすものの数を $f(n)$ とします.
ただし,回転や反転によって一致する数の書き込み方は,区別するものとします.$f(n)\lt3\times10^5$ を満たすとき,$f(n)$ としてあり得る最大の値を解答してください.
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正 $7$ 角形 $ABCDEFG$ の外側に正 $6$ 角形 $ABPQRS$ を描きます. このとき,$\angle{EGP}-\angle{GPR}$ の値は度数法で互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
半角数字で解答してください.
十万,一万,千,百,十,一の位がそれぞれ $a,b,c,d,e,f$ であるような $6$ 桁の整数を $A$ とし,十万,一万,千,百,十,一の位がそれぞれ $e,f,a,b,c,d$ であるような $6$ 桁の整数を $B$ とします. 相異なる $1$ 桁の整数 $a,b,c,d,e,f$ が $e>a>0$ を満たしながら動くとき,$A$ と $B$ の最大公約数の最大値を求めてください.
円 $\omega$ 上に相異なる $2$ 点 $A,B$ がある.ただし,弦 $AB$ は $\omega$ の直径ではない.$A,B$ における $\omega$ の接線をそれぞれ $l,m$ とする.劣弧 $AB$ 上(端点を除く)に点 $P$ をとり,$P$ を通り $l$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって,$P$ でないものを $C$ とし,$P$ を通り $m$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって,$P$ でないものを $D$ とする.$l$ と直線 $BC$ の交点を $E$,$m$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする.また,線分 $AF$ と線分 $BE$ の交点を $X$,線分 $CF$ と線分 $DE$ の交点を $Y$ とする.$AB=\sqrt{69}$,$AC=3$,$BD=6$ がそれぞれ成り立っているとき,線分 $XY$ の長さは,互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない $2$ 以上の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので,$a+b+c$ の値を求めよ.
$∠$A=69°、$∠ $B=66°、$∠ $C=45°である三角形ABCがあります。辺AC上にAB=DBとなる点Dをとり、辺BC上にAB=AEとなる点Eをとりました。DBとEAの交点をFとします。三角形AFBの周りの長さが12cmの時、三角形ABCの面積の2倍と三角形ABFの面積の和は何cm$^2$ですか。
半角数字で入力してください。 例)10
半径が $1,2,3,4,5$ の同心円に半径 $5$ の円の直径を $1$ 本付け加えて出来る図形を一筆書きで描く方法は何通りあるかを求めてください. ただし,同じ道でも向きが異なる一筆書きは異なるものとして数えるものとします.
$x$についての重解を持たない実数係数の3次方程式を $x^3+ax^2+bx+c=0$とおき、この3解を $x_1,x_2,x_3 \ (x_1<x_2<x_3)$とします。
$b+1>a+c$かつ$x_1,x_2,x_3$がいずれも絶対値が5以下の整数のとき、 $(x_1,x_2,x_3)$の組の総数を求めてください。
0以上の整数値を半角数字で入力してください
( https://mathlog.info/articles/Lf8QaKPklfv156yuq309 問題13) 三角形$ABC$において外接円,内接円,角$A$内の傍接円の半径をそれぞれ$R,r,r_A$とすると
$$R=14,r=6,r_A=19$$
が成り立ちました.このとき$BC$の長さの二乗を求めてください.
答えを入力してください.
下図で、AB=AF=BC=CD=EB、$∠$EAB=80°、$∠$ABC=40°です。 $∠$FDEの大きさは何度ですか。
$4\times9$ のマス目があり,$1$ つのマスの一辺の長さは $1$ とします.最も左下の点 $A$ から出発して,「線に沿って長さ $1$ だけ右または上または左に進む」という操作を繰り返して最も右上の点 $B$ にたどり着く経路のうち同じ線分を $2$ 回以上通過しないもの全てに対し,経路の長さの総和を求めてください.
$\triangle{ABC}$ の外接円を $O_1$ とし,辺 $CA$,辺 $CB$,円 $O_1$ に接する円を $O_2$ とします.また,円 $O_2$ と辺 $CA$ ,辺 $CB$,円 $O_1$ の接点をそれぞれ $P,Q,T$ とし,直線 $TP$ と円 $O_1$ の交点を ${R}(\ne{T})$ とし,直線 $TQ$ と円 $O_1$ の交点を $S(\ne{T})とします.$ $TA=23,TB=35,TC=57$ のとき,(四角形 $ARCS$ の面積):(四角形 $BSCR$ の面積)は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
円 $O_1$,円 $O_2$ が点 $P$ で外接しており,円 $O_1$ 上の点 $Q$ における円 $O_1$ の接線を引いたところ円 $O_2$ と異なる $2$ 点で交わったので,その $2$ 交点を $Q$ に近い方から順に $A,B$ とします. $AP=4,AB=6,BP=9$ となったとき,${PQ}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ 上に ${BC}\parallel{DE}$ となるよう $D,E$ をとり,さらに,$D,F,G,E$ がこの順に並ぶように点 $F,G$ を線分 $DE$ 上にとる.さらに,辺 $BC$ と直線 $AF,AG$ との交点をそれぞれ $H,I$ とする. 三角形 $ADF$,四角形 $FGIH$,$AEG$ の面積がそれぞれ $3,5,8$ であるとき,三角形 $ABC$ の面積の最小値は正の整数 $a,b$ および平方因子をもたない正の整数 $c$ を用いて $a+b\sqrt{c}$ と表せるので,$a+b+c$ の値を解答してください.