下図で、AB=AF=BC=CD=EB、$∠$EAB=80°、$∠$ABC=40°です。 $∠$FDEの大きさは何度ですか。
半角数字で入力してください。 例)10
80°=60°+20° 40°=60°−20° です。正三角形を作ると、合同な二等辺三角形があらわれます。
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円 $\omega$ 上に相異なる $2$ 点 $A,B$ がある.ただし,弦 $AB$ は $\omega$ の直径ではない.$A,B$ における $\omega$ の接線をそれぞれ $l,m$ とする.劣弧 $AB$ 上(端点を除く)に点 $P$ をとり,$P$ を通り $l$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって,$P$ でないものを $C$ とし,$P$ を通り $m$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって,$P$ でないものを $D$ とする.$l$ と直線 $BC$ の交点を $E$,$m$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする.また,線分 $AF$ と線分 $BE$ の交点を $X$,線分 $CF$ と線分 $DE$ の交点を $Y$ とする.$AB=\sqrt{69}$,$AC=3$,$BD=6$ がそれぞれ成り立っているとき,線分 $XY$ の長さは,互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない $2$ 以上の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので,$a+b+c$ の値を求めよ.
半角数字で解答してください.
$∠$A=69°、$∠ $B=66°、$∠ $C=45°である三角形ABCがあります。辺AC上にAB=DBとなる点Dをとり、辺BC上にAB=AEとなる点Eをとりました。DBとEAの交点をFとします。三角形AFBの周りの長さが12cmの時、三角形ABCの面積の2倍と三角形ABFの面積の和は何cm$^2$ですか。
三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ 上に ${BC}\parallel{DE}$ となるよう $D,E$ をとり,さらに,$D,F,G,E$ がこの順に並ぶように点 $F,G$ を線分 $DE$ 上にとる.さらに,辺 $BC$ と直線 $AF,AG$ との交点をそれぞれ $H,I$ とする. 三角形 $ADF$,四角形 $FGIH$,$AEG$ の面積がそれぞれ $3,5,8$ であるとき,三角形 $ABC$ の面積の最小値は正の整数 $a,b$ および平方因子をもたない正の整数 $c$ を用いて $a+b\sqrt{c}$ と表せるので,$a+b+c$ の値を解答してください.
自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します. $$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
追記 =8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました 大変申し訳ありません
$\triangle{ABC}$ の辺 $AC$ に接する傍接円の中心を $I_B$,辺 $AB$ に接する傍接円の中心を $I_C$ とし,$I_BI_C$ の中点を $M$ とする. $I_BI_C=14,BC=10$ のとき,$\triangle{MBC}$ の面積を $2$ 乗した値を解答してください.
半角数字で解答してください
円 $O_1$,円 $O_2$ が点 $P$ で外接しており,円 $O_1$ 上の点 $Q$ における円 $O_1$ の接線を引いたところ円 $O_2$ と異なる $2$ 点で交わったので,その $2$ 交点を $Q$ に近い方から順に $A,B$ とします. $AP=4,AB=6,BP=9$ となったとき,${PQ}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
$n$ を正の整数とする.縦 $3$ 行,横 $3$ 列からなるマス目の各マスに $n,n+1,\ldots,n+8$ を重複なく書き入れる方法であって,以下を満たすものの数を $f(n)$ とします.
ただし,回転や反転によって一致する数の書き込み方は,区別するものとします.$f(n)\lt3\times10^5$ を満たすとき,$f(n)$ としてあり得る最大の値を解答してください.
( https://mathlog.info/articles/Lf8QaKPklfv156yuq309 問題13) 三角形$ABC$において外接円,内接円,角$A$内の傍接円の半径をそれぞれ$R,r,r_A$とすると
$$R=14,r=6,r_A=19$$
が成り立ちました.このとき$BC$の長さの二乗を求めてください.
答えを入力してください.
鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$,外心を $O$ とし,$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします. $OH=3,AH:HD=7:2$ であり,$\triangle{ABC}$ の外接円半径が $5$ であるとき,${OD}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
$8\times 8$のマス目に$1\times 2$のタイルと$1\times 1$のタイルを隙間なく並べる方法のうち,以下の条件を満たすものを考えます.
このような並べ方のうち,横向きの$1\times 2$のタイルの個数が最大となるものは何通りありますか? ただし,回転や裏返しによって一致する並べ方は区別します.また,$1\times 2$のタイルが横向きであるとは,長辺が行に平行であることを指します.
半角数字で入力してください.
直線 $AT$ に点 $T$ で接する円 $\Gamma$ を描き,$A$ を通る直線 $m$と円 $\Gamma$ の交点を $A$ に近い方から順に $B,C$ とします. また,$\angle{CAT}$ の二等分線と直線 $BT$,直線 $CT$ の交点をそれぞれ $D,E$ とします. $BD=4,DE=8,EC=9$ となったとき,$\triangle{TBC}$ の面積を $S$ とすると,$S^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。 ただし、OとHが一致する場合は除きます。
∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。 $\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。