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$n$を正整数、$r$を$n$以下の非負整数として、$nCr$を$〈n,r〉$と表します。ここで、$n>2$であるとき、$$〈〈n,2〉,2〉$$が$5$の倍数とならないような$2$桁以下の正整数$n$の総和を求めてください。
半角数字で入力してください。
$x$ についての方程式 $xe^{2\sqrt{x}}=9(\log{3})^2$ の実数解を求めよ。
解をすべて答えてください。値の小さい順に1行目から入力してください。 なお,解答にあたって,特殊な数式は次のように入力してください。
対数:$\log_n{m}$ = \log_{n}{m}, $\log{m}$ = \log{m} 指数($\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$もすべて指数として入力してください):$n^{m}$ = n^{m} 分数:$\frac{a}{b}$ = \frac{a}{b}
$n=1,2,3...$とします。 $$6n ^5+10n^3+15n^2+29n$$を必ず割り切ることの出来る正整数として最も大きいものの値を求めてください。
100をe進数で表記すると何桁になるか。(整数部分のみ)
半角数字+「桁」という文字(例:1桁)
以下の値を求めてください。 $$ \sum_{1\leqq m<n\leqq 9} \biggl(\cos\dfrac{m\pi}{10}+\cos\dfrac{n\pi}{10}+1\biggr)^3 $$
答えは正整数になるので、それを半角数字で解答してください。
縦 $5$ 列、横 $8$ 列、合計 $40$ 個の机があり、これらの上に合計 $8$ 冊の本を置くことを考えます。 どの縦・横の列にも最低 $1$ 冊の本が置かれた机のある本の置き方は何通りありますか? ただし、同じ列に本が置かれた机が複数あっても構いません。
非負整数を半角で入力してください。
解答に誤りがあったため再投稿
$1〜100$の数字が書かれた$100$面のさいころを$3$回投げて出た目を順に$x,y,z$とし、$a=x+y、b=y+z、c=z+x$と定めます。このとき、不等式$$\frac{1}{2} <\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} $$が成り立つ確率を求めてください。
互いに素な非負整数$n,m$を用いて、$\frac{n}{m}$と表されるので、$n+m$の値を半角数字で入力してください。
$a!+b!+5c^2=2024$となる自然数$a,b,c$の組$(a,b,c)$を全て求めよ。
**入力形式** (a,b,c)=(1,1,1),(2,3,4),...というふうに半角で入力してください。区切る時は,を用いてください。(順不同)
数列$a_n$を次のように定める。 $a_1=1$ $a_n=n^{a_{n-1}}$ このとき、以下の問いに答えなさい。 (1)$a_{2023}$の一の位はいくつか求めよ。 (2)$a_{2024}$の一の位はいくつか求めよ。 (3)$a_{2024}$の百の位はいくつか求めよ。
(1) ~~~ (2) ~~~ の形でお願いします。問題番号と解答、一つの小問の解答と解答の間は半角スペースを開けてください。 解答は数字のみお書きください。
図のような展開図を組み立てできる立体の体積は何㎤ですか。ただし、図は辺の長さが等しい正三角形と正方形と正六角形を組み合わせた図形で、正方形の面積は18㎠です。
半角数字で入力してください。 例)10
$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$,外心を $O$ とする.直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし,直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると,以下が成立した:
$$EI = 23 , IO = 18$$
このとき,線分 $AI$ の長さは,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a + b$ を解答してください.
$2000$ 以下の非負整数 $a$ に対し,数列 $c_{n}$ が以下をみたします. $$c_{1}=a, c_{2}=2000-a, c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$$ このとき,$c_{2^{4333}}$ が $47^2$ の倍数となるような $a$ としてありうる値の総和を解答してください.
半角数字で解答してください.