以下の条件を満たすような $15$ 個の白石と $15$ 個の黒石の並べ方は何通りありますか.
非負整数で解答してください.
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桁数が偶数の自然数$n$の各位を$2$桁ごとに分割し、そうしてできる自然数の和を$S(n)$のする。例えば、 $S(2024)=20+24=44,S(120321)=12+3+21=36$ である。 さて、 $n+S(n)=5233$ を満たすような$n$を全て求めよ。
$n$の値を整数でお答えください。
三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とし,辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ をとると,以下が成立した:
$$\angle{DME}=90^{\circ},AD=6,DB=2,AE=7,EC=3$$
このとき,辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください.
$2000$ 以下の非負整数 $a$ に対し,数列 $c_{n}$ が以下をみたします. $$c_{1}=a, c_{2}=2000-a, c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$$ このとき,$c_{2^{4333}}$ が $47^2$ の倍数となるような $a$ としてありうる値の総和を解答してください.
半角数字で解答してください.
正の実数 $x,y,z$ が $xyz=x+y+z+2$ を満たしています.このとき, $x+4y+9z$ の最小値を求めてください.
答えを入力してください.
$4\times4$ のマス目の各マスに $3,2,6$ のいずれかを書き込む方法のうち,どの横の行に書かれた $4$ 数の積も立方数であり,どの縦の列に書かれた $4$ 数の積も立方数であるような書き込み方は何通りあるかを求めてください. ただし,回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数えるものとします.また,$3,2,6$ のうち使わない数があっても構いません.
半角数字で解答してください.
$S=\{1,2,3,4,5,6\}$ とします.$S$ の相異なる部分集合 $A,B,C$ の組であって,$A\subset B\subset C$ を満たすものの個数を求めてください. (ただし,$A,B,C$ は空集合や $S$ に一致してもよいものとします.)
以下の条件を全て満たす $20001$ 個の整数の組 $(a_0,a_1,…,a_{20000})$ を 階段状な組 と定義します.
また,階段状な組 $A=(a_0,a_1,…,a_{20000})$ に対して スコア $S(A)$ を以下のように定めます.
階段状な組全てに対してスコア $S(A)$ の総和を求め,その値が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.
$n$ を正の整数とする.縦 $3$ 行,横 $3$ 列からなるマス目の各マスに $n,n+1,\ldots,n+8$ を重複なく書き入れる方法であって,以下を満たすものの数を $f(n)$ とします.
ただし,回転や反転によって一致する数の書き込み方は,区別するものとします.$f(n)\lt3\times10^5$ を満たすとき,$f(n)$ としてあり得る最大の値を解答してください.
$4\times9$ のマス目があり,$1$ つのマスの一辺の長さは $1$ とします.最も左下の点 $A$ から出発して,「線に沿って長さ $1$ だけ右または上または左に進む」という操作を繰り返して最も右上の点 $B$ にたどり着く経路のうち同じ線分を $2$ 回以上通過しないもの全てに対し,経路の長さの総和を求めてください.
実数 $x,y$ が $\bigg\{\begin{aligned} 20x+12y=20 \\ 23x+31y=24 \end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき,$2023x+1231y$ の値を求めて下さい.
$a\lt c$ なる実数 $a, b, c$ が $$\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}=\dfrac{(b+c)(c-a)}{1+c^2}$$ をみたすとき,$(8a+13b+21c)^2$ の取りうる最小値を解答してください.
$$ x+ \frac{1}{x} =-1 $$ のとき以下の値を求めよ $$ \sum_{k=1}^{m^{3}-7m+9}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad $$ ただしmは自然数である。