円周率が3.25より小さいことを証明せよ
中学～高校レベルで証明してください
f(x)=tanx-xとおく。
f’(x)=(1/cos²x)-1=tan²x
よってf(x)は単調増加する。
ここでf(0)=0だからx>0のときf(x)>0
半角の公式より、
tan²(π/12)
=(1-cos(π/6)/(1+cos(π/6))
=(2-√3)/(2+√3)
=(2-√3)²
tan(π/12)>0だから、tan(π/12)=2-√3
以上より、
f(π/12)=2-√3-(π/12)>0
π<12(2-√3)
1.73²=2.9929<3より1.73<√3だから
π<12×(2-1.73)=3.24<3.25