全問題一覧

$$数列{a_n}を次のように定める$$$$a_1=a\in{\mathbb N}、a_{n+1}=\frac{a_n+\frac{1-(-1)^{a_n}}{2}}{2}$$$$このとき\lim_{n\to\infty}a_nを求めよ$$

問題文

四角形$ABCD$があり、次の条件を満たします。

$∠A=∠B=∠C, ∠D=135°, BC=4\sqrt{6}, CD=8$

この四角形の面積$S$は$a + \sqrt{b}$の形で表されるので、$a + b$を解答してください。

解答形式

半角数字で答えをそのまま入力。

余談

問題に不備等あればtwitterのDMなどで気軽にお願いします。
Tex初めて使いました。
問題思いつくのは簡単なんですけど、解説は未だに上手く書けませんね…

問題文

θに関する方程式
$$
sinθ=5
$$ の解を求めよ。

解答形式

例）$$｢A±B｣$$の形で入力してください。純虚数が係数として出てくる場合は項の1番前に持ってきてください。nを整数とする、などの記述はしなくても大丈夫です。｢±｣は、｢プラスマイナス｣と入力すれば出てきます🍀

問題文

1から100までの整数の中から異なる3つの整数を選び、$a<b<c$ とします。これらの3つの整数が等差数列をなすような選び方は何通りありますか？

解答形式

半角英数字で解答してください。

問題文

$ω=e^{\frac{2πi}{7}}$を原始 7 乗根とする$A=ω+ω 2 +ω 4$および$B=ω 3 +ω 5 +ω 6$ とおくとき、$A^3 +B^3$ の値を求めよ。

解答形式

半角英数字入力してください。

問題文

$$
a_1 = 1,\quad a_2 = 2,\quad a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} \quad (n \geq 3)
$$

解答形式

$a_{10}$を求めなさい。

問題文

1枚の硬貨を8回投げる。硬貨を1枚投げ, 表が出る確率, 裏が出る確率はともに$\frac{1}{2} $である。このとき、$k$回目(1$≦$$k$$≦$8)に表が出たら$X_{k}$=1, 裏が出たら$X_{k}$=0として, $X_{1}$, $X_{2}$,･･･, $X_{8}$を定める。
$$\sum_{k=1}^{6}X_{k} X_{k+1} X_{k+2}=0$$となる確率を求めよ。

解答形式

互いに素な自然数$a,b$を用いて, 求める確率は$\frac{a}{b} $と表されるので、$a+b$の値を入力してください。

問題文

$\sin \angle BAC = \dfrac{7}{8}$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ について，$B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $D$，$C$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $E$ とします．また，線分 $BC$ 上に点 $F$ を $\angle DEF = 90^\circ$ を満たすように取ったところ $BF=2, CF=6$ が成立しました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください．ただし，答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角整数値で解答してください．

問題文

$\sqrt{n}$と $\sqrt{n+3}$が共に$有理数$となるような自然数$n$を全て求めよ。

解答形式

条件を満たす$n$の総和を入力してください。

問題文

$\angle{A}=60^\circ,AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とします．直線 $OH$ と直線 $AB$ との交点を $P$ としたとき，以下が成立しました．$$AP=8,AH=7$$このとき，三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$AB<AC$ で，線分 $AB,AC$ の長さが正整数値である三角形 $ABC$ について，半直線 $CB$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $D$ ，半直線 $BC$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $E$ をそれぞれ置く．また，三角形 $ADE$ の外接円と直線 $AB,AC$ との交点のうち，$A$ でないほうをそれぞれ $P,Q$ とする．$4$ 点 $B,P,Q,C$ が同一円周上にあり，$DB=9,BC=45,CE=5$ のとき，線分 $PQ$ の長さとしてあり得る値の総和は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

鋭角三角形 $ABC$ において，外心を $O$，垂心を $H$ とし，$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．直線 $AO$ と三角形 $BHC$ の外接円が三角形 $ABC$ の内部の点 $P$ で交わっており，直線 $EF,DP$ の交点を $X$ とすると，
$$PX=8,PH=3,\angle BAD=\angle FXD$$
が成立しました．
　このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．

解答形式

例）半角数字で解答してください．