全問題一覧
問題文
$1$以上$2027$以下の整数のうち0個以上に印をつける方法は$2^{2027}$通りありますが、そのうち次の条件を満たすものの個数を$N$とします。$N$の正の約数の個数を求めてください。
条件: 印がついている整数からどのように相異なる$2$つを選んでも、その和は$2000$にならない。
解答形式
半角整数で答えてください。
問題文
$AB ≠ AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし,辺 $BC$ の中点を $M$ とします. $H$ を通り直線 $AM$ に垂直な直線上に点 $X$ を, $\angle{AXM}=90^\circ$ を満たすようにとります．
$$\tan{\angle{BAC}}=\sqrt{\dfrac{19}{17}} AX=2\sqrt{51}$$
が成り立つとき, 三角形 $ABC$ の面積 $S$ は一意に定まるので, $S^2$ を解答してください.
解答形式
半角で解答してください
問題文
複素数の組 $(\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\mu_{4},\mu_{5},\mu_{6},\mu_{7})$ は $1\le i \le 6$ を満たす任意の整数 $i$ で $\mu_{i}≠\mu_{i+1}$ であり$,$
$$\mu_{1}=\mu_{2}^2=\mu_{3}^3=\mu_{4}^4=\mu_{5}^5=\mu_{6}^{6}=\mu_{7}^7=1$$
を満たします．このような組はいくつありますか？
解答形式
半角で解答してください
問題文
実数全体に対して定義され実数値をとる関数 $f$ が, 任意の実数 $x,y$ について
$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$$
を満たしており $,$ さらに $f(7)=13$ が成り立っています. $f(28)$ を求めてください.\
解答形式
半角で解答してください
問題文
$$p^q-r^2=23$$
を満たす素数の組 $(p,q,r)$ すべてについて, $pqr$ の総和を解答してください.
解答形式
半角で解答してください
正整数列であって以下の条件を全て満たすもの個数を $f(n)$ とします.
- 要素の総和が $n$.
- 全ての隣接する $2$ 項について $3$ で割った余りが異なる.
$f(10000)$ を $1000$ で割った余りを求めてください.ただし, 必要なら以下を用いても良いです.
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
n & f(n)\: \mathrm{mod} \:1000 \\
\hline \hline
9990 & 529 \\
\hline
9991 & 3\\
\hline
9992 & 811\\
\hline
9993 & 569\\
\hline
9994 & 126\\
\hline
9995 & 145\\
\hline
9996 & 341\\
\hline
9997 & 75\\
\hline
9998 & 193\\
\hline
9999 & 212\\
\hline
\end{array}
$$
問題文
$N$を
$$N=\frac{(n!)^2}{1!(n-1)!}+\frac{(n!)^3}{2!(n-2)!}+・・・・・・+\frac{(n!)^n}{1!(n-1)!}+(n!)^n+1$$
と定義する。
このとき、$N$ を $n!-1$ で割ったときの余りは正整数 $p,q$ を用いて、$p^q$ の形で表されます。$n=2026$ のとき、$p+q$ の値を解答してください。
解答形式
半角数字
問題文
三角形 $ABC$ の内部の点 $P$ に対し、その等角共役点を $P^*$ とする。$P$ を通り各辺に平行な直線と他の 2 辺の交点を結んでできる 3 つの線分の中点が一直線上にあるとき、点 $P$ の軌跡 $C$ を求めよ。さらに、$P$ が三角形の重心であるとき、この直線と外接円の交点を $X, Y$ とし、線分 $XY$ の中点を $M$ とする。$\angle BMA = \angle CMA$ が成り立つための三角形 $ABC$ の形状に関する必要十分条件を求めよ。
解答形式
例）LaTeXと説明はカタカナで回答してください。
問題文
正の整数 $k \geq 2$ に対して、数列 $a_n$ を次のように定義する。
$$a_n = \sum_{i=1}^k i^n + \left( \prod_{i=1}^k i \right)^n - (k-1)$$
(1) 任意の素数 $p$ に対して、$p \mid a_n$ を満たす正の整数 $n$ が存在することを示せ。
(2) $k=3$ のとき、すべての正の整数 $m$ に対して $m \mid a_n$ となる正の整数 $n$ が無限に存在するか判定せよ。
解答形式
例）文章で書いてください。解法も見ます。