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（かつて別のサイトに乗せたことがある問題です。）
問題文(50点)
$xy$平面で楕円について考察したい。以下の設問に答えよ。ただし、$a>c\geq0$とする。
①：長半径が$a$、焦点が$(0,0)$と$(-2c,0)$である楕円の方程式を定義から導け。(15点)
ここで、以下の様に$r,\theta$を導入する。
$$r=\sqrt{x^2+y^2},\ \cos\theta = \frac{x}{r},\ \sin\theta = \frac{y}{r}$$
また、$q$を以下の様に定義する。
$$q = \frac{c}{a}$$
このとき、(1)の楕円において次が成り立つ。
$$r=\frac{a(1-q^2)}{1+q \cos\theta} \tag{i}$$
②： \eqref{eq1}を示せ。(15点)
③： \eqref{eq1}の楕円を原点周りに30°回転させた図形を$C$とする。また、$C$と$x$軸の交点をそれぞれ$A、B$とし、線分$AB$の長さを$L(q)$とする。$a$を定数として、$L(q)$の最大値及びそのときの$q$を求めよ。さらに、$L(q)$が最大になるとき、$C$はどのような図形か、その特徴を述べよ。(20点)
解答形式
入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。
注意
- 解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。
もし余裕があれば...
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問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。
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例えば、この設問が完答できる生徒のレベル感などを予想してもらえると助かります。
問題文
以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(4)$ できた2次方程式が異なる2つの実数解をもつとき，その2解が共に負である条件付き確率を求めよ。
解答形式
$$
(求める条件付き確率)=\frac{A(Bn+C)(Dn+E)(Fn+G)}{Hn(In+J)(Kn+L)}
$$
$A$~$L$に当てはまる整数を半角数字，空白区切りで解答
わざとわかりづらくしてるので，1が入るところとかあります。
この問題は(4)です。(3)までを解かなくてもできますが，少し大変かもしれません。
問題文
以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(3)$ $\lim_{n\to \infty}P(n)$を求めよ。
(4)は，自作場合の数・確率1-4につづく
解答形式
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答
この問題は(3)です。自作場合の数・確率1-2を解いてから解くことをお勧めします。
問題文
以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(2)$ $P(n)$を$n$の式で表せ。
(3)(4)は，自作場合の数・確率1-3につづく
解答形式
$$
P(n)= \frac{A(Bn+C)(Dn+E)}{F(Gn^{2}+Hn+I)}
$$
$A$~$I$に当てはまる整数を半角数字，空白区切りで回答
文字式の分数解答で自動ジャッジするのが大変だったので穴埋め式です。
わざとわかりづらくしてるので、1が入るところとかあります。
この問題は(2)です。が(1)を解かなくてもできます。解くと作者が喜びます。
問題文
以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。
(2)~(4)は，自作場合の数・確率1-2につづく
解答形式
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答
問題文
$1$ 以上 $15$ 以下の整数の組 $(a, b, c)$ であって
$$(2a + 2b + 2c - 33)^2 = (|2a - 9| + |2b - 11| + |2c - 13|)^2$$
をみたすものは全部でいくつありますか？
解答形式
半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．
問題文
AさんとBさんが、反発係数e、屈折率√7の壁を境に立っている。今ここで、Aさんが振動数f0の音を出す球を、Aさんは壁に向かって角度θ、初速度v0で斜方投射した。その後、球が壁に対して垂直になった状態で当たった瞬間にBさんが速度wでAさんから離れていく時、Bさんが聴く音の周波数を求めよ。ただし、音速をVとする。
解答形式
与えられた文字を用いて答えてください。
問題文
$AB≠AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の内心を$I$とする。三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接している。$D$を通り$EF$に垂直な直線と$\omega$の交点のうち,$D$でない方を$G$とし,直線$AG$と$\omega$の交点のうち,$G$でない方を$H$とする。さらに,三角形$BHF$と三角形$CHE$の外接円の交点のうち,$H$でない方を$J$とし,直線$HJ$と直線$DI$の交点を$X$とすると以下が成立した。
$$
DX=\sqrt{1122} AH||DX DG=22
$$
このとき,$AX^{2}$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので,$a+b$の値を解答して下さい。
解答形式
半角数字で解答して下さい。
