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問題

$6$次方程式のグラフ
$$y=(\frac{1}{3p^{2}}+\frac{1}{3q^{2}}-\frac{1}{3r^{2}})x^{6}-x^{4}+(p^{2}+q^{2}-r^{2})x^{2}+C$$
($p,q,r$を自然数、$C$を定数とする。
また、$p>q>r$である。)
があり、

このグラフの極値の$x$座標をそれぞれ$t_{1},t_{2},t_{3},t_{4},t_{5}$とする。
(このとき$t_{1},t_{2}< t_{3}< t_{4},t_{5}$とし、$t_{2},t_{3},t_{4}$は整数である。)

$\alpha,\beta,\gamma$の値が完全直方体の$3$辺であると仮定したとき、次の問いに答えよ。
(完全直方体が1つしか存在しないと仮定し、$\alpha <\beta <\gamma$である。)

(1)$t_{3}$の値を求めよ。

(2)$t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5}$の値を求めよ。

(3)$r$の値と等しいものは次のうちどれか。
番号で答えよ。

$1.\beta-\alpha$
$2. \gamma-\beta$
$3. \gamma-\alpha$
$4. \sqrt{\beta^{2}+\gamma^{2}}-\alpha$
$5. \sqrt{\alpha^{2}+\gamma^{2}}-\beta$
$6. \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}-\gamma$
$7. \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}-\alpha$

(4)$t_{4}$の値と等しいものは次のうちどれか。
番号で答えよ。

$1. \alpha$
$2. \alpha+\beta$
$3. \alpha+\beta+\gamma$
$4. \alpha+\beta-\gamma$
$5.-\alpha+\beta+\gamma$

解答形式

行ごとのジャッチです。

${}$　単語を並び替え、スペースを詰めてしまった英文形式のクイズ「QuizShuffleConcatenateAnd」第14問です。ここの文章を毎度変えなくてもいいのかなと思いながら文章を打ち込んでいます。読んでもらえているでしょうか。
　解くにあたって辞書やネット検索はご自由にどうぞ。

解答形式

${}$　元に戻した英文に日本語で答えてください。今回は「漢字・カタカナ交じりで5文字」です。

例題

inhighestwhatjapantheismountain
　　　　　↓　↓　↓
${}$　これを元に戻すと
What is the highest mountain in Japan?
となるので、答えは「富士山」となります。

問題文

三角形ABCがあり、AB上にD E、AC上にFがある。角DAF=46度、角CFE =92度、角DCF =23度、AE =FC、AD =EB =6、の時三角形BCDの外接円の半径を求めよ。

解答形式

英数字で答えてください。
分数は/を使ってください

問題

$2$ 以上の自然数 $n$ に対して、以下の操作を繰り返します。

【操作】
* $n$ が偶数のとき：$\dfrac{n}{2}$ を新たな $n$ とする。
* $n$ が奇数のとき：$n = 2m - 1$ となる自然数 $m$（すなわち $m = \dfrac{n+1}{2}$）を新たな $n$ とする。

この操作を繰り返し、値が初めて $1$ になるまでの操作回数を $N_n$ と定義します。

【例】
$n = 5$ のとき、$5 \to 3 \to 2 \to 1$ と変化するため、$N_5 = 3$ です。

このとき、$N_{2026}$ の値を求めてください。

答え方としては値を入力するだけでいいです。解いている中答えはわかるかもですが、nとガウス記号を用いて一般化できます。余裕があればぜひ。

問題文

a,bを自然数とする。
演算記号「↑」を次のように定義する。
a↑b=a^b
さらに「↑↑」を次のように定義する。
a↑↑b=a↑{a↑↑(b-1)}
例えば2↑↑3だったら2^2^2となり、2^4となり、16となる。
次の問いに答えよ。
(1)2↑↑4を求めよ。
(2)3↑↑3を4で割ったあまりを求めよ。
(3)3↑↑2027を10で割ったあまりを求めよ。

解答形式

答えはすべて(1~3)+半角数字のみで回答してください。
例
(1)3
(2)4
(3)2
などそれぞれの答えごとに改行してください。

${}$　単語を並び替え、スペースを詰めてしまった英文形式のクイズ「QuizShuffleConcatenateAnd」第13問です。1ヶ月分まとめて投稿予約をしており、この問題が公開される頃には9月の末でしょうか。少しは涼しくなってほしいと思いながらこの文章を打ち込んでいます。
　解くにあたって辞書やネット検索はご自由にどうぞ。

解答形式

${}$　元に戻した英文に日本語で答えてください。今回は「漢字で3文字」です。

例題

inhighestwhatjapantheismountain
　　　　　↓　↓　↓
${}$　これを元に戻すと
What is the highest mountain in Japan?
となるので、答えは「富士山」となります。

問題文

正十二面体について次の(1)〜(3)を答えなさい

(1)12色を使って各面をそれぞれ塗り分けるとき、何通りあるか。ただし全ての色を使うこと。

(2)3色を使って各面をそれぞれ塗り分けるとき、何通りあるか。ただしどの色も必ず一回は使い、同じ色は隣接しても良いものとする。

(3)1つの頂点をAとする。頂点Aから出発し、1秒ごとに今いる頂点から辺でつながっている隣の頂点へ、それぞれ 1/3の等確率で移動する点Pを考える。点Pが出発してからちょうど10秒後 に、最初にいた頂点Pの位置(頂点A)に戻っている確率を求めよ。

解答形式

1行目に(1)の答えのみを答えてください。
(2)は2行目に答えてください。
(3)は3行目に答えてください。
x/yのように分数の場合、x+yの値を表記してください。

例
↓
1000通り
333通り
33333

正整数の多重部分集合 $U$ であって以下の条件を満たすものを 良い集合 と呼ぶことにします。

• $a\in U$ が奇数なら $a$ の重複度は $2$ 以下.
• $a\in U$ が偶数なら $a$ の重複度は $1$ 以下.

良い集合 $U$ について, $U$ に含まれ重複度が $1$ である奇数の個数を $x$, $U$ に含まれ重複度が $1$ である偶数の個数を $y$ としたとき, 要素の総和が $N$ であるような $U$ 全てについて, $2^x\cdot(-1)^y$ の総和を $f(N)$ とします. 以下の値を求めてください.

$$f(1)+f(2)+\cdots +f(10000)$$

問題文

35を素因数分解して、それを足して、またそれを、素因数分解して、たしてから、その答えを入力してください
※これは重複を含みます　（例１８を素因数分解したら、２×３×３なので、２＋３＋３でとそういう風にやります）

解答形式

半数字で入力してください　1234567890のように

問題文

$$
I=\int_{0}^{1} \frac{\arctan{x}}{1+x^2} \left(\frac{x^4-6x^2+1}{(1+x^2)^2}\right)^2 dx
$$

解答形式

わかりやすく書いてください
自動判定ではないので
わかりやすければいいです

問題文

$\ell,m,n を0以上の整数とする。$
$動点Pは、数直線上の0をスタートとし、以下の操作をn回行った後の座標をX_{n}とする。$

$1個のサイコロを1回振って1か2の目が出たら正の方向に\frac{1}{2^{m}}だけ移動(m回目の移動)し、$
$3か4の目が出たら負の方向に\frac{1}{2^{m}}だけ移動(m回目の移動)し、$
$5か6の目が出たら移動しないとする。$
$ただしmは、移動した回数を表し、初期値は0であり、$
$1〜4の目が出て移動するのが1回目なら1、m回目ならmであり、$
$5か6の目が出て移動しないときは増えずに、それまでの移動回数を保持する。$
$ゆえにmはサイコロを振った回数(操作回数)と同じになるとは限らない。( m\leq n)$

$X_{n}<\frac{1}{2^{\ell}} となる確率P_{\ell}を\ellとnを用いて表せ。必要ならばmを使ってもよい。 $

難易度

難易度は難関大学の入試問題レベルだと思います。
苦労して作ったので良問であってくれれば嬉しいです。

問題

正整数$a,b,c$において,
$$
(a^{2}+1)(a+b)=abc-1
$$をみたす組$(a,b,c)$の総和を求めよ.

答えの値違いました、すいません。