平方境界・反転素数・合同整合

タイトル：三条件で定まる点と最短距離条件（大学レベル）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(12,0)$、点 $C(4,9)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi^3$（ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle APC = 45^\circ$
3. 直線 $BC$ からの距離が最小となる位置を選ぶ。

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）
問題文
問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

正整数 $n$ に対し， $n$ 以下の正整数のうち $n$ と互いに素であるものの個数を $ \varphi(n)$ ，$n$ の正の約数の個数を $d(n)$ とします．

このとき，以下の式が成り立つような正整数の組 $(a,b)$ であって $a$ と $b$ がともに $20$ 以上の素因数を持たないようなものを全て求めてください．

$$
a^2 + b^2 = \sqrt{d(b)}(ab - \varphi(a^2))
$$

解答形式

条件を満たす $(a,b)$ 全てについての $ab$ の総積を $P$ とします．$d(P)$ を入力してください．なお，必要であれば電卓を用いても構いません．

問題文

平面上に鋭角三角形ABCがある。以下の条件をみたすように点Dを定める。
「$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=2CD^{2}$
　$BC=AD$
　$点Dと点Bは直線ACに関して反対の向きにある$」
ここで線分ACを直径とする円と線分AD,BCとの交点をそれぞれE,Fとおき、
直線ACとEFの交点をPとするとAC=100,EF=90が成立した。
このとき、線分APの長さを求めよ。

解答形式

互いに素な正の整数p,qを用いてp/qと表されるので、p/qと解答してください

問題文

ジョーカーを含む54まいのトランプを考える。
上からN枚目がジョーカーa、36枚目がジョーカーbの時を考え、それ以外にジョーカーは入っていなく、カードはランダムであるとする。
この時次のような操作を考える。
操作
1　最初に1枚カードを一番下に送る。これを操作1とする。
2　操作1で送ったカードの枚数と同じだけカードを一番下に送る。これを操作2とする
3　操作1と2で送ったカードの合計分のカードを一枚ずつ一番下に送る。これを操作3とする。
4　操作2と3で送ったカードの合計分のカードを一枚ずつ一番下に送る。これを操作4とする。
x　操作(x-2)と(x-1)で送ったカードの合計分のカードを一枚ずつ一番下に送る。　これを操作xとする。(x >2の時)

このとき次の問いに答えなさい。
(1)最初に一番上のカードがハートのキングだったとき、ハートのキングが再び一番上に来るのは操作Aが終わったときでした。Aに当てはまる数字を答えなさい。
(2)ジョーカーbが初めて一番下にきたのは操作Bの途中でした。Bに当てはまる数を答えなさい。
(3)ジョーカーbが一番上のカードに来たのは操作Cが終わったときでした。Cに当てはまる数を答えなさい。
(4)ジョーカーaが一番上のカードに来たのは操作15が終わったときでした。Nに当てはまる数を答えなさい。

解答形式

(1)A=まるまる（半角数字）のようにスペースを開けずに文字=数字の形にして回答してください。
()ごとに改行をしてください。
例　
(1)A=3
(2)B=8 のようにお願いします
()は半角でお願いします。

※この問題は人力で解けることを想定していない可能性があります。

平安時代には次のルールがある。
・男性が3日連続女性の家に通ったらその女性と結婚が成立する。
・男性が3年(1095日)間一切女性の家に通わなかったらその女性と離婚が成立する。
1人の男性が同時に女性と結婚できる人数は最大X人であり、女性の家に通いはじめてからX人の女性と結婚するのに必要な日数の最小値はY日である。XとYの10進数における文字列の結合を解答しなさい。ただし、1人の男性が1日に通える女性の家は1つだけである。
(寿命や重婚に対する刑罰は考慮しないものとする)

次のグラフにおいて、毎ターン1つの線分上を駒が移動するとき、初期位置を点Pとして、1024ターン後に駒が点Pに戻るとき、駒の移動のやり方としてあり得るものの総数を1007で割った余りを求めよ。

問題文

平方因子を持たない正整数 $n$ であって，$\dfrac{\phi(n)}{\gcd(n,\phi(n))} = 18$ を満たすものの総和を解答してください．

問題文

https://pororocca.com/problem/19/
こちらの問題の設定で，「裏裏裏裏裏表表表表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。

$$
a^2-4b-1=0\\
b^2-8c+28=0\\
c^2-6a+2=0\\
$$

解答形式

a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。

問題文

$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分

$$
\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx
$$

を計算せよ。

解答形式

piまたは 355/113 で解答してください。

問題

(1) 定積分

$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$

の値を求めよ。

(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を

$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$

で定める。定積分

$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$

の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。

備考

この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。

問題

(1) $a,b$ を整数でない正の有理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(2) $a$ を整数でない正の有理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

解答方法

解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。