$(a+b)^{15}$を展開しなさい。
$(a+b)^{3}$の場合 a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 のような形で解答せよ。
プロジェクト空間 $\mathbb{P}^2$ 内の射影多様体 $V = Z(x^3 + y^3 + z^3) \subset \mathbb{P}^2$ を考える。この多様体が非特異であることを示しなさい。
証明してください。
$p$ を $101$ 以上の素数とする。$g$ を法 $p$ における原始根とし、$1$ から $p-1$ までの整数 $k$ に対して、$g^{\text{ind}(k)} \equiv k \pmod p$ となる $0 \le \text{ind}(k) \le p-2$ の整数 $\text{ind}(k)$ を定める。
ある整数 $k$ ($2 \le k < p$) に対して、数列 ${a_n}$ を以下で定める。
* $a_1 = k$
* $a_{n+1} \equiv a_n \cdot g \pmod p \quad (n=1, 2, 3, \dots)$
また、数列 ${b_n}$ を $b_n = \text{ind}(a_n)$ で定め、数列 $\ {b_n}$ の初項から第 $p-1$ 項までの和
$S = \sum_{n=1}^{p-1} b_n$
とする。
このとき、和 $S$ が $2000$ で割り切れるような素数 $p$ の最小値を求めよ。
半角左詰め
全ての自然数に対し、偶数の時は2で割り、奇数の時は1を足して2で割る操作を繰り返すと必ず1になることを証明せよ。
特に指定はなし。
三角形 $ABC$ があり,その内心を $I$ とし,内接円 $\omega$ と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とします.直線 $BC,EF$ の交点を $P$ とし,$I$ から線分 $AP$ におろした垂線の足を $Q$,線分 $DQ$ と $\omega$ の交点のうち $D$ でないものを $R$ とすると,
$$RD=9,\quad RQ=6,\quad AF=10$$
が成立しました.このとき,線分 $PR$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください