数学の問題一覧

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1時間前

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(かつて別のサイトに乗せたことがある問題です。)

問題文(50点)

$xy$平面で楕円について考察したい。以下の設問に答えよ。ただし、$a>c\geq0$とする。

①:長半径が$a$、焦点が$(0,0)$と$(-2c,0)$である楕円の方程式を定義から導け。(15点)

ここで、以下の様に$r,\theta$を導入する。

$$r=\sqrt{x^2+y^2},\ \cos\theta = \frac{x}{r},\ \sin\theta = \frac{y}{r}$$

また、$q$を以下の様に定義する。
$$q = \frac{c}{a}$$

このとき、(1)の楕円において次が成り立つ。

$$r=\frac{a(1-q^2)}{1+q \cos\theta} \tag{i}$$

②: \eqref{eq1}を示せ。(15点)

③: \eqref{eq1}の楕円を原点周りに30°回転させた図形を$C$とする。また、$C$と$x$軸の交点をそれぞれ$A、B$とし、線分$AB$の長さを$L(q)$とする。$a$を定数として、$L(q)$の最大値及びそのときの$q$を求めよ。さらに、$L(q)$が最大になるとき、$C$はどのような図形か、その特徴を述べよ。(20点)

解答形式

入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。

注意

  • 解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。

もし余裕があれば...

  • 問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。

  • 例えば、この設問が完答できる生徒のレベル感などを予想してもらえると助かります。

逆関数の積分

Yutanza 自動ジャッジ 難易度:
6時間前

0

問題文

$f(x) = e^{\frac{x}{2}}-1 $ として、$C_1: y = f(x)$, $C_2: x = f(y)$ とする。
$C_1$, $C_2$ との、原点以外の交点の座標を$(a,e^{\frac{a}{2}}-1)$ とする。
$C_1$, $C_2$ とで囲まれた部分の面積を$S$とするとき、
$S=a(a-ア)$となる。

解答形式

アに入る数字を、半角数字で入力してください。

3日前

0

問題文

解答形式

◻︎に当てはまる数字を半角数字で入力してください。

自作場合の数・確率1-4

oolong_tea 自動ジャッジ 難易度:
3日前

0

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について,自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(4)$ できた2次方程式が異なる2つの実数解をもつとき,その2解が共に負である条件付き確率を求めよ。

解答形式

$$
(求める条件付き確率)=\frac{A(Bn+C)(Dn+E)(Fn+G)}{Hn(In+J)(Kn+L)}
$$

$A$~$L$に当てはまる整数を半角数字,空白区切りで解答

わざとわかりづらくしてるので,1が入るところとかあります。

この問題は(4)です。(3)までを解かなくてもできますが,少し大変かもしれません。

自作場合の数・確率1-3

oolong_tea 自動ジャッジ 難易度:
3日前

0

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について,自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(3)$ $\lim_{n\to \infty}P(n)$を求めよ。

(4)は,自作場合の数・確率1-4につづく

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例)$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答

この問題は(3)です。自作場合の数・確率1-2を解いてから解くことをお勧めします。

自作場合の数・確率1-2

oolong_tea 自動ジャッジ 難易度:
3日前

0

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について,自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(2)$ $P(n)$を$n$の式で表せ。

(3)(4)は,自作場合の数・確率1-3につづく

解答形式

$$
P(n)= \frac{A(Bn+C)(Dn+E)}{F(Gn^{2}+Hn+I)}
$$

$A$~$I$に当てはまる整数を半角数字,空白区切りで回答

文字式の分数解答で自動ジャッジするのが大変だったので穴埋め式です。
わざとわかりづらくしてるので、1が入るところとかあります。

この問題は(2)です。が(1)を解かなくてもできます。解くと作者が喜びます。

自作場合の数・確率1-1

oolong_tea 自動ジャッジ 難易度:
3日前

4

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について,自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。

(2)~(4)は,自作場合の数・確率1-2につづく

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例)$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答

3日前

22

問題文

$1$ 以上 $15$ 以下の整数の組 $(a, b, c)$ であって
$$(2a + 2b + 2c - 33)^2 = (|2a - 9| + |2b - 11| + |2c - 13|)^2$$

をみたすものは全部でいくつありますか?

解答形式

半角英数にし,答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい.

OPMO2024

Furina 自動ジャッジ 難易度:
9日前

27

問題文

数列 ${a_n},{b_n},{c_n}$ を,$a_0=73,b_0=1227,c_0=5355$ および以下の式で定める:
$$(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1})=(2b_n-a_n^2,b_n^2-2a_nc_n,-c_n^2)$$
 $b_{404}$ を $5000$ で割った余りを求めよ.

解答形式

半角整数で解答してください.

幾何α

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
12日前

9

問題文

$AB≠AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の内心を$I$とする。三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接している。$D$を通り$EF$に垂直な直線と$\omega$の交点のうち,$D$でない方を$G$とし,直線$AG$と$\omega$の交点のうち,$G$でない方を$H$とする。さらに,三角形$BHF$と三角形$CHE$の外接円の交点のうち,$H$でない方を$J$とし,直線$HJ$と直線$DI$の交点を$X$とすると以下が成立した。
$$
DX=\sqrt{1122} AH||DX DG=22
$$
このとき,$AX^{2}$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので,$a+b$の値を解答して下さい。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

微分・積分

y 自動ジャッジ 難易度:
13日前

0

$$
\int_{0}^{n}(4x^2+3x)dn=0(n<0)\\のnの値を求めてください。
$$

E

kusu394 自動ジャッジ 難易度:
13日前

24

問題文

holoXのずのーである『博衣こより』はとある実験に成功し、同じholoXのメンバーである『ラプラス・ダークネス』『鷹嶺ルイ』『沙花叉クロヱ』『風真いろは』と自分自身をそれぞれ $6$ 人ずつに分身させてしまいました.
分身させた計 $30$ 人のうち $6$ 人を選び,下記の条件に沿って左右 $1$ 列に並べる方法は何通りありますか.

  • 『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』は隣り合ってはならない.(こよクロ(『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』のユニット)は解散しているため)
  • 『ラプラス・ダークネス』の左右のどちらか隣に『鷹嶺ルイ』がいないといけない(『ラプラス・ダークネス』は『鷹嶺ルイ』が近くにいないと不安になってしまうため.しかし,『鷹嶺ルイ』の隣に『ラプラス・ダークネス』がいなくても良い.)

解答形式

半角整数で入力してください.