数学の問題一覧
問題文
１辺が６の立方体ABCDEFGHの辺上に点I,J,Kを取り三角錐B-IJKを作る。
Bから平面IJKに下ろした垂線を垂線Lとし、垂線Lと平面IJKの交点をMとする。
問１
BI=BJ=BK=４とする。
(i)BM:MHを求めよ。
(ii)△IJKの面積を求めよ。
問２
BI=BJ=BK=aとする。(a≦6)
(i)BMの長さをaを用いて表せ。
(ii)△MHCの面積をaを用いて表せ。
(iii)△IJKの面積をaを用いて表せ。
問3
△BIJの面積をS₁,△BIKの面積をS₂,△BKJの面積をS₃,△IKJの面積をS₄とするとき。
(S₁)²＋(S₂)²＋(S₃)²=(S₄)²が成立することを証明せよ。
解答形式
すべて半角数字で回答してください。
比を入力する際には:を使用してください。
問題文
非負整数 $n$ に対し、$\operatorname{popcount}(n)$ を $n$ の二進数表示に含まれる $1$ の個数とする。
次の和の値を求めよ。
$$
\sum_{k=0}^{2^{20}-1}
(-1)^{\operatorname{popcount}(k)+\operatorname{popcount}(k+1025)}
$$
解答形式
非負整数を用いて解答せよ。
問題文
非負整数 $n$ に対し、$\operatorname{popcount}(n)$ を $n$ の二進数表示に含まれる $1$ の個数とする。
次の和の値を求めよ。
$$
\sum_{\substack{a,b,c\geq 0\\a+b+c=255}}
(-1)^{\operatorname{popcount}(a)+\operatorname{popcount}(b)+\operatorname{popcount}(c)}
\left(
\operatorname{popcount}(a)+\operatorname{popcount}(b)+\operatorname{popcount}(c)
\right)
$$
解答形式
非負整数を用いて解答せよ。
問題文
非負整数 $n$ に対し、$\operatorname{popcount}(n)$ を $n$ の二進数表示に含まれる $1$ の個数とする。また、$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表す。
次の整数の5で割り切れる最大の値を求めろ
$$
\sum_{k=0}^{2^{2000}-1}
(-1)^{\operatorname{popcount}(k)}
\left\lfloor\frac{k^2}{25}\right\rfloor
$$
解答形式
非負整数を用いて解答せよ。
問題文
非負整数 $n$ に対し、$\operatorname{popcount}(n)$ を $n$ の二進数表示に含まれる $1$ の個数とする。
また、$\oplus$ は二進表示の各桁に対する排他的論理和（XOR）を表し、$\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表す。
次の和の値を求めよ。
$$
\sum_{k=0}^{2^{28}-1}
(-1)^{\operatorname{popcount}(k)}
\,{}_{\operatorname{popcount}\left(
k\oplus\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor
\oplus\left\lfloor\frac{k}{8}\right\rfloor
\right)}\mathrm{C}_{12}
$$
解答形式
非負整数を用いて解答せよ。
$3×10$ のマス目に一つずつ $↑,→,↓,←$ のいずれかを書き込む方法であって，以下を満たすものは何個ありますか．
- 任意のマスについて，そのマスから矢印の方向にある隣接したマスに動く操作を繰り返すことで最初にいたマスに戻ることができる．
問題文
正の約数が $4$ 個であって，すべての素因数が$100$ 以下であるような合成数はいくつあるか. ただし，$100$ 以下の素数は $25$ 個であることを用いてよい.
※これはatawaruさんがXで開催した第1回100点企画で僕が出題した問題です (2025.12.14 開催)
解答形式
半角数字で解答してください
問題文
$0\leq i\leq j\leq 1000$ なる整数 $i,j$ を用いて $(i,j)$ と表される組からなる集合 $S$ であって，以下の条件をすべてみたすものの個数を求めてください．
- $(1000,1000)\in S$ ．
- $0\leq k\leq 1000$ なる整数 $k$ であって $(0,k)\in S$ であるものはちょうど $2$ 個存在する．
- $0\leq x \leq y \leq 999$ なる任意の整数 $x,y$ に対し，集合
$$S\cap\big\lbrace (x,y),(x,y+1),(x+1,y+1)\big\rbrace$$
の要素は偶数個である．
【TMO 8】