数学の問題一覧
${}$ 西暦2026年問題第8弾です。$2026$を$2^{26}$とする強引な西暦問題となりました。ついでに書くと、どこかに類題がありそうで、その点でも恐れています。皆さんはそんな僕の恐れなど気にせずにお楽しみください。
解答形式
${}$ 解答は1行目に$p_3$の値を、2行目に$p_4$の値を、それぞれ半角で入力してください。「$p_3=$」「$p_4=$」といった記載は不要です。
（例）$p_3=$108、$p_4=$2026 → 《1行目》$\color{blue}{108}$、《2行目》$\color{blue}{2026}$
問題文
$m,n$を整数とします。
$$(m+n)!+2025^{{n}^{m}}=2026^{mn+1}$$
を満たす組$(m,n)$について、$mn$の総積を求めてください。
解答形式
半角数字で入力してください。
${}$ 西暦2026年問題第7弾です。見た目も実際もがっつり整数問題です。ひととき整数と戯れてみてください。
なお、$2026$より大きい整数の素数判定が待ち受けています。適宜、素数表（たとえば https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_prime_numbers ）を利用するなり、Wolfram|Alpha（ https://www.wolframalpha.com ）を利用するなりしてください。
解答形式
${}$ 解答は求める値をそのまま半角で入力してください。
（例）107 → $\color{blue}{107}$
求められているのは平方数と素数に挟まれた数であることに注意してください。
AさんとBさんは、黒板をつかって次のようなゲームをします。
ルール
・自分のターンでは、黒板に書かれている$1$以外の正整数を一つ選び、分割を行う。
自分のターン開始時に分割できる数がない場合敗北となる。
・分割...その数を$2$つ以上の正整数の和に分解すること。たとえば、$5$は$(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1)$のいずれかに分割される。
はじめ、黒板には$1024$以下の正整数$X,Y,Z$が書かれています。Aさんから操作を開始し、両者が最適戦略をとりつづけるとき、Bさんが勝つような$(X,Y,Z)$の組の個数を求めなさい。
数列${a_n},{b_n},{c_n}$を
$a_1=300,b_1=400,c_1=500$
$a_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2b_n^2+2c_n^2-a_n^2}$
$b_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2c_n^2+2a_n^2-b_n^2}$
$c_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2a_n^2+2b_n^2-c_n^2}$
で定めるとき、3辺を$a_n,b_n,c_n$とする三角形の面積を$S_n$とする。
この三角形が退化しないことは証明できるので、$S_8$の値を求めよ。ただし、求めるべき値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac a b$と表せるので$a+b$を解答せよ。
問題文
座標平面上に点 P_k, Q_k を以下の規則に従ってとる。各試行においてサイコロを投げ、出た目を m = {1, 2, 3, 4, 5, 6} とする。
• 試行回数 n が奇数 (n = 2k - 1) のとき：
点 P_k (cos 2π/m, sin 2π/m)
• 試行回数 n が偶数 (n = 2k) のとき：
点 Q_k (cos -2π/m, sin -2π/m)
(1) n = 1, 2, 3, 4 回目のサイコロの目が順に 1, 4, 3, 6 であったとき、4点 P_1, Q_1, P_2, Q_2 が作る四角形の面積 S を求めよ。
(2) n = 4 のとき、出現した4点が正方形となる確率を求めよ。
(3) n 回の試行で得られた点集合を V_n = {P_1, Q_1, ..., P_k, Q_k} (ただし n = 2k または 2k - 1) とする。V_n から異なる4点を選んで作れる四角形の面積を S とし、同一の V_n 内における S の最大値を Smax、最小値を Smin とする。
このとき、比 R = Smax / Smin について、以下の問いに答えよ。
(i) 出目の組み合わせによって、比 R が最大値を取り得る最小の試行回数 N を求めよ。
(ii) n = N のとき、R が最大値をとる確率 P を求めよ。
解答形式
記述もお願いします
問題文
$n,kをn≠kで3以上の自然数とする。$
$このとき、正n角形において、その内部をn個の正k角形で重複なく、また隙間なく敷き詰められるような(n,k)を求めよ.$
解答形式
(〇,◇)
記号も数字もすべて半角でお願いします。
