数学の問題一覧
問題文
$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり, 垂心を $H$ とします. $B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とし, 直線 $EF$ と直線 $AH,BC$ との交点をそれぞれ $G,K$ とすると, 三角形 $FKH$ の外接円と三角形 $EGH$ の外接円は再び線分 $BC$ 上の点 $X$ で交わりました.
$$KB=1 EG:GK=4:5$$
が成り立つとき, 線分 $GX$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.
解答形式
半角で入力してください。
問題文
以下の $2$ つの条件をともに満たす正の整数 $x$ の総和を求めてください．
- $\sqrt{105625 - x^2}$ は整数である．
- $x$ と $\sqrt{105625 - x^2}$ の最大公約数は素数である．
解答形式
半角左詰めでお願いします
問題文
素数 $p = 10^9 + 7$ とし，整数 $N$ を $N = 10^{18} + 14000000047$ と定義します．
このとき，次の値 $S$ を $p$ で割った余りを求めてください．
$$S = \sum_{k=0}^{\lfloor N/2 \rfloor} \binom{N}{2k} 5^k$$
解答形式
半角左詰めでお願いします
正の整数 $n$ に対して, 以下の条件をすべて満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を $f(n)$ と定めます.
- $\mathrm{lcm}(x, y) = n$
- $x$ は $y^2$ の約数である
- $y$ は $x^2$ の約数である
$f(n) = 15$ を満たす正の整数 $n$ のうち, 小さい方から数えて $10$ 番目のものを求めてください.
問題文
$2$ 以上の整数 $n$ が以下の条件を満たすとき, $n$ を「頑固な数」と呼びます.
- $x^3 \equiv 1 \pmod n$ を満たす任意の整数 $x$ に対し, $x \equiv 1 \pmod n$ が成立する.
$(29!)^2$ の正の約数のうち, 「頑固な数」はいくつありますか.
解答形式
半角左詰めでお願いします
問題文
正整数からなる有限集合 $V$ に対し，その要素数を $f(V)$ ，要素の総和を $g(V)$ とします．相異なる正整数からなる有限集合 $S$ であって，次を満たすものを良い集合とします．
- $S$ の任意の部分集合 $T$ について，命題「 $f(T)$ が奇数ならば $g(T)$ は素数である」は真である．
$f(S)$ が最大となるような良い集合 $S$ のうち，$g(S)$ が最小となるようなものは一意に定まるので，その要素の総積を解答してください．
解答形式
答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．