全問題一覧

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16日前

30

問題文

$n$ を $3$ 以上の整数とする。はじめ、黒板には $n-1$ 個の有理数 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots, \frac{1}{n} $ が書かれている。黒板から $2$ つの有理数 $x,y$ を選んで消し、新たに有理数 $\displaystyle \frac{x+y}{1+xy} $ を書くという操作を繰り返し行う。そして、最後に黒板に残った $1$ つの有理数を既約分数として表すと、分子が $899$ で割り切れた。

このようなことが起こる最小の $n$ を求めよ。

解答形式

条件を満たす $n$ の最小値を半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

いい数

nanohana 採点者ジャッジ 難易度:
24日前

3

問題文

$$p、p^2、p^3、p^4$$が10進数表記ですべていい数字となる自然数pは存在するか。
ただし、いい数字とはどの桁も素数であるような自然数のことである。例えば、252、7352のような自然数のことである。

解答形式

存在するならばそのような自然数pを入力してください。存在しないならば、存在しないことを証明してください。(簡単にでいいです。)


問題文

$f_0=0,f_1=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$で定義された数列において、$f_p$が$p$の倍数となるような素数$p$を全て求めてください。

解答形式

計算式全てを書く必要はないので論証の概略と答えを書いてください。

2月前

23

問題文

$$\sum_{k=m}^{n}k!=p$$を満たす自然数m,nと素数pの組(m,n,p)を全て求めよ。

解答形式

mが小さい順に、そして組ごとに改行して解答してください。

例えば(m,n,p)=(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)のときは、
1,2,3
2,3,4
3,4,5
のように入力してください

2024⑥

7777777 採点者ジャッジ 難易度:
2月前

1

問題文

$2024!$の約数の和は$2025$の倍数であることを示せ。

整数問題

rt3010 採点者ジャッジ 難易度:
3月前

3

問題文

$x,y,z$は整数とする。また、$p$は素数とする。
$x^{4}+y^{4}+z^{4}-2x^{2}y^{2}-2y^{2}z^{2}-2z^{2}x^{2}-8x^{2}yz-8xy^{2}z-8xyz^{2}=p$となるとき、$p$の最小値を求めよ。また、$p$が最小値をとるとき、$x,y,z$の組を全て求めよ。

解答形式

$p$の最小値を$p$=~の形式で1行目に、$x,y,z$の組を$(x,y,z)$=~ の形式で2行目以降にすべて書いてください。ジャッジは自分でするのであまり気にしないで自由に回答してください。

整数問題2

natsuneko 自動ジャッジ 難易度:
4月前

15

問題文

正整数 $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v_2 (N)$ で表すことにします.
(例 : $v_2(6) = 1, \ v_2(16) = 4$)
このとき,
$$\sum_{i = 1}^{1024} \sum_{j = 1}^{1024} \sum_{k = 1}^{1024} v_2 ( \textrm {gcd} (i, j, k))$$
の値を解答して下さい. ( $\textrm{gcd}(i,j,k)$ で $i,j,k$ の最大公約数を表しているとします.)

解答形式

半角数字で解答して下さい.

余りの計算

noname 採点者ジャッジ 難易度:
4月前

8

$1^{2024}+2^{2024}+3^{2024}+4^{2024}+5^{2024}+…+2023^{2024}+2024^{2024}$を$17$で割った余りを求めよ。

元の問題を書き換えて別の問題にしました。前の問題は解いていただけなかったので別の問題に変えました。

解答形式

余りを自然数でお答えください

2024とは全く関係ない整数問題

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
6月前

13

問題文

ある正整数 $n$ は以下の条件を満たしました.

  • 異なる素因数をちょうど $3$ つもつ.
  • $n$ の素因数を小さい順に $p_{1},p_{2},p_{3}$ とすると,$\displaystyle\frac{n+1}{p_{1}+1},\displaystyle\frac{n+1}{p_{2}+1},\displaystyle\frac{n+1}{p_{3}+1}$ が整数になる.

このとき,$n$ の最小値を求めてください.

解答形式

半角数字で正整数で答えてください.

追記:答えを訂正しました.miq氏にはご迷惑をおかけして申し訳ありません.

整数問題

MARTH 自動ジャッジ 難易度:
6月前

27

$0$ 以上 $6$ 以下の整数からなる組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ のうち以下を満たすものの個数を求めてください.
$$(a_1a_2)^3+(a_2a_3)^3+(a_3a_4)^3+(a_4a_5)^3+(a_5a_1)^3\equiv0\pmod{7}$$

OMC没問4

natsuneko 自動ジャッジ 難易度:
7月前

24

問題文

下図のようにブロックがピラミッド状に積んであり,各ブロックに $1$ つずつ整数を割り当てていきます.このとき,最下段に並ぶブロックが $N$ 個であるとき,以下の条件を満たすように整数を割り当てることとします.
・ 最下段の左端のブロックには $1$ を,右端のブロックには $N−2$ を,また左から $i$ 番目のブロック $(2 \leq i \leq N−1)$ には $i−1$ をそれぞれ割り当てる.
・最下段以外のブロックには,そのすぐ下に位置する左右 $2$ つのブロックに割り当てられた数の積を割り当てる.

最も上にあるブロックに割り当てられた整数を $N−1$ で割った余りを $f(N)$ とします.このとき,$f(10^9 + 8) + f(10^9 + 404)$ の値を解答して下さい.ただし, $10^9 + 7, \ 5×10^8 + 3, \ 10^9 + 403, \ 5×10^8 + 201$ はいずれも素数であることは既知としてよいです.

解答形式

例)半角数字で解答して下さい.

ボツ問題

peparoni 自動ジャッジ 難易度:
7月前

5

問題文

以下の条件をともに満たす $12$ 桁の正整数 $M$ はいくつありますか?

  • $M$ を $3$ 桁ずつに区切って得られる $4$ つの正整数を左から $A,B,C,D$ として定めると,$\lvert A - B + C - D\rvert$ は $11$ の倍数かつ $13$ の倍数となる.
  • $M$ を $4$ 桁ずつに区切って得られる $3$ つの自然数を左から $E,F,G$ として定めると,$\lvert E - F + G\rvert$ は $137$ の倍数となる.

ただし,$M,A,E$ の最高位の数字は $0$ でないものとします.

解答形式

条件を満たす $12$ 桁の正整数 $M$ の個数を,半角数字で余分な空白や改行を入れずに解答してください.