$n$ を非負整数とする.番号 $0,1,2,\cdots,2^n-1$ が $1$ つずつ振られた $2^n$ 枚の札が箱に入っている.「箱から札を無作為に $1$ 枚取り出し,札の番号を記録してから箱の中に戻す」という操作を考える.
以下の問いに答えよ.ただし,自然数 $N$ に対し,$\displaystyle\frac N{2^m}$ が自然数となるような最大の非負整数 $m$ を $f(N)$ で表すとする.
$(1)$ 操作を $1$ 回おこない,記録した番号を $b$ とする.このとき,$f({}_{2^n}\mathrm C_b)$ の期待値を求めよ.
$(2)$ 操作を $2$ 回おこない,記録した番号を $a,b$ とする.このとき,$f({}_{2^n+a}\mathrm C_b)$の期待値を求めよ.
ただし,解答に際しては $n=10$ のときの値を答えよ.
答えの値は, $\displaystyle \xi+\frac{\eta}{\zeta}$ のように,整数部分 $\xi$ と小数部分 $\displaystyle\frac{\eta}{\zeta}$ に分けて求める.ここで,$\eta$ は非負整数,$\zeta$ は自然数で,$\eta$ と $\zeta$ は互いに素とする.
$(1)$ の $\xi,\eta,\zeta$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に,$(2)$ の $\xi,\eta,\zeta$ の値をそれぞれ $4,5,6$ 行目に記して答えとせよ.
数直線上の点 $\mathrm P$ は初め原点にある.サイコロを振り $1, 2$ が出たら正の向きに $2$ 進み,$3, 4, 5, 6$ が出たら負の向きに
$1$ 進むという操作を繰り返す.
$6$ 回の操作をおこなったとき,点 $\mathrm P$ が常に $x\geqq0$ の範囲にある確率を求めよ.
答えは互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac ab$ と表されるので,$1$ 行目に $a$ を,$2$ 行目に $b$ を答えよ.
以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について,自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。
(2)~(4)は,自作場合の数・確率1-2につづく
2025/01/07追記
解説をアップデート,全員に対して公開に設定
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例)$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答
A,B,Cの三人がこの順で時計回りに座って次のようなゲームをする。
(i)始め、AはCと書かれたカード、BはAと書かれたカード、Cは無地のカードとBのカードを持っている。
(ii)Aから時計回り順で、反時計回りに隣の人が持つカードから1つを等確率で選んで引く。
(iii)(ii)を繰り返して、自分の名前の書かれたカードを最初に引いた人を勝ちとする。
A,B,C,がが勝つ確率をそれぞれ、$a$,$b$,$c$とする。$a$,$b$,$c$をそれぞれ求めよ。
半角英数字で(分子)/(分母)として既約分数で解答してください。(例)35/216
$a$を1行目、$b$を2行目、$c$を3行目に、解答してください。完答で正解とします。
8/25追記 解説を公開しました。