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問題文
以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。
(2)~(4)は，自作場合の数・確率1-2につづく
2025/01/07追記
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解答形式
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答
問題文
実数$x$についての以下の方程式を解いてください。($0\leq x\leq 1$)
$$
\tan(\color{red}{\sin^{-1}x})+\cot(\color{blue}{\cos^{-1}x})=\sin(\color{green}{\cot^{-1}x})+\cos(\color{purple}{\tan^{-1}x})
$$
ただし$\cot{x}$は$\frac{1}{\tan{x}}$を意味し、$\sin^{-1}x,\cos^{-1}x,\cot^{-1}x,\tan^{-1}x$でそれぞれの逆関数を表すこととします。
（※定義域と値域の取り方はWikipedia等にあるような一般的なものを用います）
解答形式
解は一つに定まり、整数$a,b$を用いて$x=\sqrt{a+\sqrt{b}}$と書けるので、$a^{10}+b^{10}$の値を半角英数字で入力してください。
問題
一般項${a_n}=3(\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}+\frac{(\sqrt{5}-1)^{n-1}}{2}+\frac{(\sqrt{5}+1)^{n-1}}{3}+(\sqrt{2}-1)^{n-1}$を与える数列${a_n}$の漸化式を考えることにより$x$についての方程式$$x^4+(1-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-2\sqrt{5})x^3+(4-\frac{\sqrt{3}}{2}-2\sqrt{5}+\frac{\sqrt{6}}{2}+2\sqrt{10}+\sqrt{15})x^2+(4-4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{30})x-2\sqrt{3}+2\sqrt{6}=0$$を解いてください。
解答形式
それぞれの解について、実数の場合はその整数部分、複素数の場合は実数部分の整数部分を求め、それらを全て足し合わせた数を半角で1行目に入力してください。
問題文
$$\sum_{k=1}^{n}x^{-2k} =0 [n \in {\mathbb N}]$$
というxの方程式がある。
このとき、以下の問いに答えよ。
なお、この方程式には実数解が存在しない。
1)実数解を持たないことを示せ。(証明必須)
2)解の個数を示せ。(証明不要)
3)n=4の時の解の全てを示せ。(証明不要)
解答形式
1)には証明を、
2)には数値もしくは数式を、
3)には直交座標表示もしくは三角関数による極座標表示を推奨する。
例
1)自明
2)1729n+65536
3)x=1+3i,3(cosπ/3+isinπ/3)
もちろんこれらが答えでは無い。
メモ
2)を解く際は解の式を作成するべきだろう。
wolfram alphaに頼ることはおすすめしない。