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問題文

$a_{1} = 3$ , $a_{n+1} = \frac{a_{n}(a_{n}+1)}{2}$

とする($n$は自然数)。

また、$2$ 以上の自然数を $p$ とし、$a_{n}$を $3^{p}$ で割った時の余りを $R_{n}^{p}$ とする。

このとき、数列 {$R_{n}^{p}$} は
「周期の長さが $2×3^{p-2}$ 」であり、
かつ「 $0$ 以上 $3^{p}$ 未満の $3$ の倍数のうち $9$ の倍数ではない数」

をすべて巡回することを示せ。

解答形式

論述形式です。途中までの投稿もOKです。$p$ の値が小さければ、試してみると成立していることが分かります。


問題文

$f(x)=x^2-4x+6$とする。$f(f(f(f(f(p+2)))))$が素数となるような素数$p$を全て求めよ。

解答形式

ない場合は「0」、ある場合は小さい順に半角英数字で入力してください。


${}$ 年始集中企画として西暦2022年問題をお送りしてきました。今回が第7弾、最終回です。後半はとかく大きめの数を扱うことが多く、ご多分に漏れず当問もそうなっています。どうぞ最後までお楽しみください。

お知らせ

${}$ いつもの図形問題ですが、明日1月9日(日)は出題をお休みして、翌週1月16日(日)から再開する予定です。お待たせしていますが、またどうぞよろしくお願いします。

解答形式

${}$ 解答は条件を満たす自然数の個数をそのまま入力してください。単位は不要です。
(例) $107$ 個 → $\color{blue}{107}$


${}$ 西暦2022年問題第6弾です。第5弾から変化したのは1ヶ所のみ、「20桁の自然数」を「21桁の自然数」に変えただけです。この1ヶ所の変化が何をもたらすのか、ぜひご自身の手でご確認ください。

解答形式

${}$ 解答は条件を満たす自然数の個数をそのまま入力してください。単位は不要です。
(例) $106$ 個 → $\color{blue}{106}$
 なお、解法によってはやや面倒な計算が待っています。必要に応じてWolfram|Alphaや関数電卓などを遠慮なくご利用ください。


${}$ 西暦2022年問題第5弾です。当シリーズも後半ということで、極端に数を大きくしてみました。とはいえ、もちろん手計算で処理しきれるように仕込みは上々です。どうぞ0と2だらけの数たちをお楽しみください。

解答形式

${}$ 解答は条件を満たす自然数の個数をそのまま入力してください。単位は不要です。
(例) $105$ 個 → $\color{blue}{105}$
 なお、解法によってはやや面倒な計算が待っています。必要に応じてWolfram|Alphaや関数電卓などを遠慮なくご利用ください。



訂正とお詫び

(2022年1月28日23時17分)
 出題から3週間余り、問題文に不正確な記述がありました。お詫びするとともに上記のように訂正いたします。不要に迷ってしまった方もいらっしゃるかもしれません。申し訳ございませんでした。
 なお、修正前の問題文をご覧になりたい場合はこちらからどうぞ。
https://twitter.com/tb_lb/status/1478365250269622276


${}$ 西暦2022年問題第4弾です。今回は2022が満たす性質をちょいと替えてみるという手法で問題を作ってみました。ド根性ではなく、できるだけ計算の手間が減るような解法を楽しんでもらえたら嬉しいです。

解答形式

${}$ 解答は$n$の値をそのまま入力してください。「$n=$」の記載も不要です。
(例) $n=104$ → $\color{blue}{104}$
 なお、やや面倒な計算が待っています。必要に応じてWolfram|Alphaや関数電卓などを遠慮なくご利用ください。

7月前

10

${}$ 西暦2022年問題第3弾です。今回は数表から西暦である数を探すという入試問題にありがちな設定の問題にしてみました。いろいろな方法が通用するように調整しています。お好みの方法でどうぞお楽しみください。

解答形式

${}$ 解答は2022が登場した回数をそのまま単位なしで入力してください。
(例) 103回 → $\color{blue}{103}$

連立する整数問題

aoneko 採点者ジャッジ 難易度:
18月前

3

問題文

$0$でない整数$x,y,z$について$A=xy−z,B=x-yz$と定める。$A+B=3,A-B=5$となるとき、$x,y,z$の値を求めよ


問題文

$n$ を正の整数とする。$f(n)=\sqrt{n^4+2n+61\ }$ が整数となるような $n$ を $1$ つ選び、そのときの $f(n)$ の値を答えよ。

なお、$f(n)$ が整数とならない場合や、答えた $f(n)$ の値が正しくない場合は不正解とする。

正解した場合は、まず解説を見よ。また、他のユーザーの回答も見てみよ。

解答形式

あなたが選んだ $n$ における $f(n)$ の値を半角数字で1行目に入力せよ。

22月前

32

問題文

$7^{7^7}$ を $777$ で割ったあまりを求めよ。

(注:$7^{7^7}$ は「 $7$ の「 $7$ の $7$ 乗」乗」を表すものとする。)

解答形式

$0$ 以上 $776$ 以下の整数を、半角数字で1行目に入力せよ。