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問題文

数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n=1,2,\dots}$ が $a_1=-2,a_2=1$ を満たし，さらに次の条件を満たすとき，$a_{100}$ の値を求めてください．

• 任意の正整数 $k$ について，$a_k+a_{k+1}+a_{k+2}=k$ が成り立つ．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

素数 $p,q,r$ と正整数 $n$ の組 $(p,q,r,n)$ であって，

$$p^n-4q^4=r^4$$

を満たすものすべてについて，$pqrn$ の値の総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$100$ 以下の正整数 $n$ であって，$4$ つの実数 $a,b,c,d$ が $4a+3b+2c+d=n$ を満たして動くとき，

$$a^2+b^2+c^2+d^2+a+2b+3c+4d$$

の取りうる最小値が整数となるものすべての総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，角 $A,B,C$ 内の傍接円をそれぞれ $\Gamma_A,\Gamma_B,\Gamma_C$ とします．また，$\Gamma_A$ と直線 $AB,AC$ との接点をそれぞれ $P,Q$ ，$\Gamma_B$ と直線 $BC,BA$ との接点をそれぞれ $R,S$ ，$\Gamma_C$ と直線 $CA,CB$ との接点をそれぞれ $T,U$ とします．線分 $PS,QT,RU$ の長さがそれぞれ $25,26,29$ であるとき，三角形 $ABC$ の周長を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，その重心を $G$ としたところ，

$$AB^2-GB^2=20，AC^2-GC^2=26$$

が成立しました．このとき，線分 $AG$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を半角で解答してください．