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問題文

単位円状の3点P,Q,Rは重心が(1/3,0)となるように動く。三角形PQRの面積の最大値を求めよ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。
答えのみ　数値をそのまま記入してください

問題文

n2^n+1が平方数となるような自然数nを求めよ

解答形式

例）8と9→n=8,9
7のみ→n=7

問題文

$m$ を整数とする．$x$ の $100$ 次方程式
$$\sum_{i=0}^{100}3^ix^{100-i}=m+\sum_{j=0}^{99}(2j+1)x^{99-j}$$ は重複を含めて $100$ 個の複素数解を持つので，その $n$ 乗和を $S_{m,n}$ とする．
$n$ が正の整数のとき $S_{m,n}$ は整数になるので，$S_{m,n}$ を $5$ で割った余りを $T_{m,n}$ をとする．以下の値を求めよ．
$$\sum_{m=0}^{1000}\sum_{n=1}^{100}T_{m,n}$$

解答形式

整数で解答してください．

数列 ${a_n}$ を、初項 $a_1 = 2$、漸化式
$
a_{n+1} = a_n^2 - a_n + 1 \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)
$
によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。

(1)$p$ を $5$ 以上の素数とし、$k$ を整数とする。
合同式
$
x^2 + x + 1 \equiv 0 \pmod p
$
が整数解 $x = k$ を持つとき、$p \equiv 1 \pmod 3$ となることを証明せよ。

(2)任意の自然数 $n$ に対して、$a_n$ を割り切る素因数 $q$ は、$q = 2$、$q = 3$、または $q \equiv 1 \pmod 6$ のいずれかであることを示せ。
さらに、これを用いて「$p \equiv 1 \pmod 6$ を満たす素数 $p$ は無限に存在する」ことを証明せよ。

問題文

$ $　$U$ を $1$ 以上 $6$ 以下の整数全体の集合とします．$U$ から $U$ への写像 $f$ であって以下の条件をみたすものは全部でいくつありますか？

• 任意の $x \in U$ に対し $f^{61}(x) = f(x)$ が成り立つ．

ただし，$k$ を正整数としたとき $f^k$ は $f$ の $k$ 回合成を表します．すなわち，$x \in U$ として $f^k$ は次のように表される $U$ から $U$ への写像です．
$$f^k(x) = \underbrace{f(f( \cdots f(}_{k個}x) \cdots ))$$

解答形式

答えは非負整数値であることが保証されます．半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．