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次の積分の値を求めよ．
$$
I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log(1+\sin x+\cos x)\,dx
$$ただし，$\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{4}\log\left(\frac{1}{\tan x}\right)\,dx=G$ とする.

問題文

問　凸四角形$ABCD$が$AB+CD=BC+DA$を満たしている。次の4つの円の中心を$W,X,Y,Z$とする。
・線分$AB$と、線分$DA,CB$の$A,B$方向での延長線に接する円。
・線分$BC$と、線分$AB,DC$の$B,C$方向での延長線に接する円。
・線分$CD$と、線分$BC,AD$の$C,D$方向での延長線に接する円。
・線分$DA$と、線分$BA,CD$の$D,A$方向での延長線に接する円。
$WX=YZ$になるための四角形$ABCD$の必要十分条件を$A,B,C,D$以外の点を用いずに示せ。

解答形式

必要十分条件を求め、証明を記述してください。

問題文

$$y=(1+3+5+\cdots +(2x+1))$$と、$$y=(2x+4x+6x+\cdots +(2x^{2}))-5$$の交点を求めよ。ただし、$x>0$とする。

解答形式

$(x,y)$のときの$xy$の値を求めてください。

1=0
2=0
3=0
4=4
6=8

上記の条件が成り立つとき、次の「X」がとりうる最大値を答えよ。

5＝X

回答形式　数値を入力してください

問題文

$x^{6}=55-12\sqrt{21}$の正の実数解を求めよ。

解答形式

少数第3位まで求めてください。