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問題文

$a_1=m$,$a_{n+1}=a_n^2$とする。
$a_k=2025$となる正整数$k$が存在するような$m$の値を$m_1,m_2,m_3,…$とする。
$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(\sum _{k=1}^{n}\quad \frac{1}{m_k}\right)$は収束するか。

解答形式

「はい」または「いいえ」と入力してください。

問題文

$3$ つの区別できる立方体があります。躑躅色$,$ 熨斗目花色$,$ 鶸色 の絵の具を用意し$,$ $18$ 面のうち無作為に選んだ $6$ 面を躑躅色に$,$ 別の $6$ 面を熨斗目花色に$,$ 残りの $6$ 面を鶸色に塗ります。ただし$,$ どの塗り方も等確率で起こるものとします。

色が塗られた後の $3$ つの立方体を同時に投げたとき$,$ 出た $3$ つの面の色を記録した後$,$ $3$ つの立方体をそれぞれ $1$ 回目に出た面とは異なる面が無作為に上面となるように$,$ 同時にもう一度投げるとき$,$ $1$ 回目に出た $3$ つの面がすべて異なる色であり$,$ かつ $2$ 回目に出た $3$ つの面もすべて異なる色となる確率を求めてください。

解答形式

答えは分数になるので(既約分数)$,$ 分母と分子の和を半角数字で入力してください。

鋭角三角形 $ABC$ において、各辺の長さは $AB = 15, BC = 14, CA = 13$ である。
点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし、線分 $AD$ を直径とする円をかく。
直線 $AB, AC$ と円の $A$ と異なる交点をそれぞれ $E, F$ とし、直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とする。
点 $P$ から円に引いた 2 本の接線の接点を $T_1, T_2$ とするとき、線分 $T_1T_2$ の長さを求めよ。

解答形式

答えは$$\frac{a}{b}$$と表せるので${a+b}$を答えよ。

円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB = BC$ を満たしている。
対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とすると、$BE = 4, ED = 5$ であった。
四角形 $ABCD$ の周の長さが $26$ であるとき、線分 $AD$ と $CD$ の長さのうち、大きい方の値を求めよ。

問題文

$AB=7, BC=8, CA=9$ である鋭角三角形 $ABC$ において$,$ 各頂点において中線が隣り合う一方の辺となす角と$,$ 等しい角度をもう一方の辺との間になすような直線をそれぞれ引きます。これら3本の直線の交点を $K$ とし$,$ 点 $K$ を中心として点 $A$ を通る円を $\Gamma$ とします。また$,$ 円 $\Gamma$ と直線 $BC$ の交点のうち$,$ 点 $B$ に近い方を $X$$,$ 点 $C$ に近い方を $Y$ とします。さらに$,$ 三角形 $AKX$ の外接円を $\omega_1$$,$ 三角形 $AKY$ の外接円を $\omega_2$ とし$,$ $\omega_1$ と $\omega_2$ の $A$ 以外の交点を $M$ とします。直線 $AM$ と直線 $BC$ の交点を $H$ とするとき$,$ 線分 $KH$ の長さは互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せるので$,$ $p+q$ の値を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。