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問題文

$\left( \tan^3 20^\circ - \tan^3 40^\circ + \tan^3 80^\circ \right)^2 $ の値を求めよ。

解答形式

半角数字で解答してください.

【問題】

実数全体で定義された連続関数の列 ${f_n(x)}_{n=1}^{\infty}$ を以下のように帰納的に定義する。

$$f_1(x) = \frac{1}{x^2 + \sqrt{2}x + 1}$$

$$f_{n+1}(x) = 2x \cdot f_n(x) - \frac{d}{dx}\left[ (x^2+1) \cdot f_n(x) \right] \quad (n \ge 1)$$

このとき、次の定積分 $I$ の値を求めよ。

$$I = \int_{0}^{1} f_3(x) \, dx$$

解答形式

必要であれば、ルートを表す√の文字(例：√A)、円周率であるπの文字、虚数であるiの文字を使っても良い。
また、項が複数存在する場合はA + B - Cのように半角スペースで分け、
分数で答える場合は、A/Bと答えること。(A、Bは実数又は複素数)

問題文

正の整数 $n$ に対して, $f(n)$ を次のように定義する。
$$ f(n) = 1^3 + 2^3 + \cdots + (n-1)^3 + n^3 + (n-1)^3 + \cdots + 2^3 + 1^3 $$
$f(n)$ が平方数となるような正の整数 $n$ のうち, $1000$以下のものをすべて求めてください。

解答形式

答えは複数あるので, その総和を入力してください。

問題文

​自然数nと2つの正の数m、rに対して、関数 f(x) のグラフは、中心が (m, n) で半径が r の円 C の y≦n の部分（ただし、 m-r≦x≦m+r ）である。関数f(x)が次の条件を満たしている。
​（ア）方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数は2である。
（イ）方程式 f(x-3f(x))=0 の異なる実数解の個数は3である。
​曲線 y=f(x)上の点(10, 2)における接線の方程式が3x-y-28=0であるとき、 m+n+r²の値を求めよ。

解答形式

​自然数で入力してください。

問題文

半径6の円Oがあり、図のように弦ABをひく。

点P₁はAから出発し、弧ABの長い方を通ってBまで動く。BについたらすぐにAへ戻り、これを繰り返すものとする。

点P₂はBから出発し、弧ABの短い方を通ってAまで動く。AについたらすぐにBへ戻り、これを繰り返すものとする。

ここで、点P₁の速さは毎秒1/3π、点P₂の速さは毎秒πとする。

さらに、弧AP₁=3/2πのときに、∠BAP₁=90°が成り立つ。

点P₁と点P₂が動き始めてから300秒後以内に、四角形AP₁BP₂の面積が最大となるタイミングは何回あるか。

解答形式

例）単位は不要です、半角数字のみで答えてください。