数学の問題一覧

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Square Taxi

sapphire15 自動ジャッジ 難易度:
3月前

152

問題文

相異なる正の整数$a, b,c, d,k$が
$$a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = k$$
を満たすものとします。$k$の最小値を求めてください。

解答形式

半角数字で回答してください。

備考

  • 6/10 14:26 問題文を「非負整数」→「正の整数」に修正しました。

都合のいいn (文理共通)(数Ⅱ)

masorata 自動ジャッジ 難易度:
3月前

32

問題文

$n$を整数とする。$x$の整式

$$
x^4+(3n+2)x^3+(n^2+5)x^2+nx-1
$$

が整数係数の範囲でさらに因数分解できるような$n$をすべて求めよ。

解答形式

$n$の値を小さい順に1,2,3,......行目にすべて半角で入力せよ。たとえば $n=-123, 45, 678$ と解答する場合、1行目に「-123」、2行目に「45」、3行目に「678」と入力せよ。

常に無理数か?

hinu 自動ジャッジ 難易度:
3月前

27

問題

(1) $a,b$ を整数でない正の有理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(2) $a$ を整数でない正の有理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

解答方法

解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。

[A] Natural Number

okapin 自動ジャッジ 難易度:
6日前

22

問題文

$\dfrac{n^2+2020}{2n}$が自然数となるような自然数$n$の総和を求めよ。

解答形式

解答を半角数字で入力してください。

鏡の中のf(x) (文理共通)(数Ⅱ)

masorata 自動ジャッジ 難易度:
3月前

22

問題文

関数 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して

$$
f(x)=2f(-x)+\frac{3x}{x^2+1}
$$

をみたす。このとき、$f(x)$ の最大値を求めよ。

解答形式

求める最大値は $\frac{p}{q}$ ($p,q$は自然数) と書ける。$p,q$ の値をそれぞれ1,2行目に半角数字で入力せよ。なお、できるだけ約分した形で答えよ。

A-長方形

hinu 自動ジャッジ 難易度:
2月前

21

問題文

平面上に長方形 ${\rm ABCD}$ と点 ${\rm P}$ があり、 ${\rm AP}=11,{\rm BP}=9,{\rm CP}=3$ を満たしている。このとき ${\rm DP}$ の長さ $x$ を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

[B] Dots on the Ball

halphy 自動ジャッジ 難易度:
34日前

20

問題文

$r$ を正の整数とする。$xyz$ 空間において,原点を中心とする半径 $\sqrt{r}$ の球面を $S_r$ で表すとき,次の問いに答えなさい。

  1. $S_r$ が格子点を含まないような最小の $r$ を求めなさい。
  2. $S_r$ が格子点を含まず,$r$ が $8$ の倍数であるような最小の $r$ を求めなさい。

※点 $(x,y,z)$ が格子点であるとは,$x,y,z$ がすべて整数であることをいう。

解答形式

改行区切りで,1行目に 1. の答えを,2行目に 2. の答えを入力してください。

tan三兄弟 (文理共通)(数Ⅱ)

masorata 自動ジャッジ 難易度:
2月前

20

問題文

実数$A,B,C \ (-\frac{\pi}{2}<A<B<C<\frac{\pi}{2}$) が

$$
\frac{1+\tan^3{A}}{1+3\tan^2A}=\frac{1+\tan^3{B}}{1+3\tan^2B}=\frac{1+\tan^3{C}}{1+3\tan^2C}\\
$$

をみたして動くとき、$\tan{(A+B+C)}$ がとりうる値の範囲を求めよ。

解答形式

解は $ m<\tan{(A+B+C)}< M$ の形で、$m,M$ はどちらも整数である。
$m,M$の値をそれぞれ1,2行目に半角数字で入力せよ。
例えば $m=-33, M=4$ と解答する場合、1行目に「-33」、2行目に「4」と入力せよ。

(20/06/21: よりシンプルな問題文に直しました。答えはそのままです。)

C-3n畳神話大系

halphy 自動ジャッジ 難易度:
2月前

19

問題文

$n$ を非負整数とする。縦の長さが $3$,横の長さが $2n$ の長方形をした部屋を,辺の長さが $1$ と $2$ の長方形の畳で敷き詰める方法の総数を $a_n$ とする。ただし,部屋を固定したとき,畳を回転または反転させて一致するような敷き詰め方は区別して数える。また,便宜上 $a_0=1$ と約束する。

例えば,縦の長さが $3$,横の長さが $2$ である部屋を畳で敷き詰める方法は
の $3$ 通りだから $a_1=3$ である。このとき
$$
a_n=\fbox{ア}\;a_{n-1}+\fbox{イ}\;\sum_{k=0}^{n-2}a_k\quad (n=2,3,\cdots)
$$が成り立つから
$$
a_4=\fbox{ウエオ}
$$である。また,上の漸化式を変形すると
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\fbox{カ}+\sqrt{\fbox{キ}}
$$が成り立つことが分かる。

解答形式

$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{キ}$ には,半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{キ}$ に当てはまるものを,改行区切りで入力してください。

二等分

okapin 自動ジャッジ 難易度:
3月前

19

問題文

中心$O$, 直径$AB$とする円の$A,B$以外の円周上の点$C$を取り, $\angle BAC=\theta \ (0^\circ<\theta <90^\circ)$ とする。
このとき, 線分$OD$が線分$AC$によって二等分されるような点$D$が円周上に取れるような$\theta$の取りうる範囲を求めよ。

解答形式

求める$\theta$の範囲は$a^\circ<\theta\leq b^\circ$となります。1行目に$a$, 2行目に$b$を半角数字で入力してください。

3月前

18

問題文

$x^4+4$ を因数分解せよ。また、この結果を用いて$50629$を素因数分解せよ。

解答形式

50629の素因数を小さい順に1,2,3......行目に半角数字で入力せよ。

One to Six

sapphire15 自動ジャッジ 難易度:
3月前

16

問題文

$1\thicksim6$までの数字を$1$回ずつ使って空欄を埋め以下の等式を成立させてください。解が存在しない場合はその旨を答えてください。

$(1)\square\square\times\square=\square\square\square$
$(2)\square\square+\square\square=\square\square$

解答形式

1行目に$(1)$、2行目に$(2)$の解を入力してください。
等式をすべて半角で入力してください。ただし、「$\times$」はx(小文字のエックス)で代用するものとします。
存在しない場合は-1を入力してください。
また、解が複数存在する場合はどれを回答してもかまいません。

(例)
$3\times7=21$と入力する場合 3x7=21
$3+7=21$と入力する場合 3+7=10