相異なる正の整数$a, b,c, d,k$が
$$a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = k$$
を満たすものとします。$k$の最小値を求めてください。
半角数字で回答してください。
${}$ 2023年、あけましておめでとうございます。本年もよろしくお願いいたします。
さて、新年数日は図形問題をお休みして、西暦である2023を織り込んだ数学やパズルの問題をお送りします。
初日・2日目は虫食算です。虫食算というと確定マスから埋めていき、時には場合分けや仮置きを利用するのが定番の手法ですが、僕が作る虫食算は数学的手法(約数や倍数、偶奇性や剰余、不等式による絞り込み、などなど)を適宜用いることで面倒な場合分けや仮置きを軽減できるようにしています。とはいえ、解き方は自由です。お好きなようにパズルなひと時をお楽しみください。
${}$ 解答は2行目を「被除数÷除数」の形で入力してください。
(例) $2023 \div 101 = 20$ 余り $3$ → $\color{blue}{2023 \text{÷} 101}$
入力を一意に定めるための処置です。数字は半角で、「÷」の演算記号はTeX記法(\div)ではなく全角記号の「÷」でお願いします。
整数 $n$ について,$\dfrac{10^n+11}{3}$ が平方数になるものは存在しますか?存在しないなら $-1$ を解答してください.存在する場合,最小の $n$ を解答してください.ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので,$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください.
存在しないなら $-1$ を解答してください.存在する場合,最小の $n$ を解答してください.ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので,$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください.
次の条件(a), (b)をともに満たす自然数($1$ 以上の整数)$\rm{A}$ の最小値を求めよ。
(a) $\rm{A}$ は連続する $3$ つの自然数の和である。
(b) $\rm{A}$ を $10$ 進法で表したとき、$1$ が連続して $9$ 回以上現れるところがある。
半角数字のみで1行目に入力せよ。
$\dfrac{n^2+2020}{2n}$が自然数となるような自然数$n$の総和を求めよ。
解答を半角数字で入力してください。
素数 $p$ に対して,$\dfrac{1}{p}$ を小数表記したときに循環する長さを $\Pi(p)$ で表します.正整数 $n$ に対し,$\Pi(p)=n$ なる $p$ のうち最小のものを $M(n)$ とするとき,以下の値を求めてください.ただし,有限小数の場合循環はしないとします.
$$M(1)+M(2)+M(3)+M(4)+M(5)+M(6)$$
答えとなる数字のみを解答してください.
$AB=100,AC=200$ なる $\triangle ABC$ において,$A$ 類似中線と $BC$ の交点を $X$ とします.$BX,CX$ がいずれも正整数値であるとき,$AX$ の取り得る正整数値の総和を求めてください.
$AX$ の取り得る正整数値の総和を解答してください.