数学の問題一覧

問題文

相異なる正の整数$a, b,c, d,k$が
$$a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = k$$
を満たすものとします。$k$の最小値を求めてください。

解答形式

半角数字で回答してください。

備考

• 6/10 14:26 問題文を「非負整数」→「正の整数」に修正しました。

${}$　2023年、あけましておめでとうございます。本年もよろしくお願いいたします。
　さて、新年数日は図形問題をお休みして、西暦である2023を織り込んだ数学やパズルの問題をお送りします。
　初日・2日目は虫食算です。虫食算というと確定マスから埋めていき、時には場合分けや仮置きを利用するのが定番の手法ですが、僕が作る虫食算は数学的手法（約数や倍数、偶奇性や剰余、不等式による絞り込み、などなど）を適宜用いることで面倒な場合分けや仮置きを軽減できるようにしています。とはいえ、解き方は自由です。お好きなようにパズルなひと時をお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は2行目を「被除数÷除数」の形で入力してください。
（例） $2023 \div 101 = 20$ 余り $3$ → $\color{blue}{2023 \text{÷} 101}$
　入力を一意に定めるための処置です。数字は半角で、「÷」の演算記号はTeX記法（\div）ではなく全角記号の「÷」でお願いします。

問題文

整数 $n$ について，$\dfrac{10^n+11}{3}$ が平方数になるものは存在しますか？存在しないなら $-1$ を解答してください．存在する場合，最小の $n$ を解答してください．ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので，$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください．

解答形式

存在しないなら $-1$ を解答してください．存在する場合，最小の $n$ を解答してください．ただし答えは非常に大きくなる可能性があるので，$n$ を素数 $998244353$ で割ったあまりを解答してください．

問題文

次の条件(a), (b)をともに満たす自然数（$1$ 以上の整数）$\rm{A}$ の最小値を求めよ。

(a) $\rm{A}$ は連続する $3$ つの自然数の和である。

(b) $\rm{A}$ を $10$ 進法で表したとき、$1$ が連続して $9$ 回以上現れるところがある。

解答形式

半角数字のみで1行目に入力せよ。

問題文

$n$ を正の整数とする。$f(n)=\sqrt{n^4+2n+61\ }$ が整数となるような $n$ を $1$ つ選び、そのときの $f(n)$ の値を答えよ。

なお、$f(n)$ が整数とならない場合や、答えた $f(n)$ の値が正しくない場合は不正解とする。

正解した場合は、まず解説を見よ。また、他のユーザーの回答も見てみよ。

解答形式

あなたが選んだ $n$ における $f(n)$ の値を半角数字で1行目に入力せよ。

問題

(1) $a,b$ を整数でない正の有理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(2) $a$ を整数でない正の有理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

解答方法

解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。

問題文

関数 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して

$$
f(x)=2f(-x)+\frac{3x}{x^2+1}
$$

をみたす。このとき、$f(x)$ の最大値を求めよ。

解答形式

求める最大値は $\frac{p}{q}$ ($p,q$は自然数) と書ける。$p,q$ の値をそれぞれ1,2行目に半角数字で入力せよ。なお、できるだけ約分した形で答えよ。

問題文

$n$ を整数とする。$x$ の整式

$$
x^4+(3n+2)x^3+(n^2+5)x^2+nx-1
$$

が整数係数の範囲でさらに因数分解できるような $n$ をすべて求めよ。

解答形式

$n$の値を小さい順に1,2,3,......行目にすべて半角で入力せよ。たとえば $n=-123, 45, 678$ と解答する場合、1行目に「-123」、2行目に「45」、3行目に「678」と入力せよ。

問題文

$\dfrac{n^2+2020}{2n}$が自然数となるような自然数$n$の総和を求めよ。

解答形式

解答を半角数字で入力してください。

問題文

正整数 $a , b$ の最大公約数を $g(\not=1)$，最小公倍数を $l$ としたとき，以下が成立しました．

$$\dfrac{l - 1}{g - 1} = 100$$

このときの $(a , b)$ の組としてあり得るものを全て求め，$a + b$ の総和を求めてください．

解答形式

正整数で答えて下さい．

問題文

素数 $p$ に対して，$\dfrac{1}{p}$ を小数表記したときに循環する長さを $\Pi(p)$ で表します．正整数 $n$ に対し，$\Pi(p)=n$ なる $p$ のうち最小のものを $M(n)$ とするとき，以下の値を求めてください．ただし，有限小数の場合循環はしないとします．
$$M(1)+M(2)+M(3)+M(4)+M(5)+M(6)$$

解答形式

答えとなる数字のみを解答してください．

問題文

$AB=100,AC=200$ なる $\triangle ABC$ において，$A$ 類似中線と $BC$ の交点を $X$ とします．$BX,CX$ がいずれも正整数値であるとき，$AX$ の取り得る正整数値の総和を求めてください．

解答形式

$AX$ の取り得る正整数値の総和を解答してください．