[A]東大レベル!

masorata 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年10月17日10:00 正解数: 32 / 解答数: 38 (正答率: 84.2%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「第1回まそらた杯」の問題です。

全 38 件

回答日時 問題 解答者 結果
2020年10月22日22:54 [A]東大レベル! tsukasa
正解
2020年10月21日23:28 [A]東大レベル! baba
正解
2020年10月18日22:25 [A]東大レベル! ゲスト
正解
2020年10月18日22:21 [A]東大レベル! ゲスト
正解
2020年10月18日13:53 [A]東大レベル! maborosigin
正解
2020年10月18日13:18 [A]東大レベル! tantal
正解
2020年10月18日5:29 [A]東大レベル! takeheroaf
正解
2020年10月18日2:51 [A]東大レベル! _sekizett
正解
2020年10月18日2:05 [A]東大レベル! mathyuuugo
正解
2020年10月18日1:07 [A]東大レベル! pn8128
正解
2020年10月18日1:04 [A]東大レベル! pn8128
不正解 (0/1)
2020年10月18日0:50 [A]東大レベル! Ricky_pon
正解
2020年10月18日0:49 [A]東大レベル! Ricky_pon
不正解 (0/1)
2020年10月17日21:18 [A]東大レベル! Osmium_1008
正解
2020年10月17日21:04 [A]東大レベル! tanimoto
正解
2020年10月17日17:28 [A]東大レベル! sapphire15
正解
2020年10月17日17:24 [A]東大レベル! Benzenehat
正解
2020年10月17日14:48 [A]東大レベル! k753w
正解
2020年10月17日13:48 [A]東大レベル! mochimochi
正解
2020年10月17日12:56 [A]東大レベル! sksn1723
正解
2020年10月17日12:50 [A]東大レベル! nanka
正解
2020年10月17日12:49 [A]東大レベル! nanka
不正解 (0/1)
2020年10月17日12:38 [A]東大レベル! barusa0124
正解
2020年10月17日12:35 [A]東大レベル! mayuco
正解
2020年10月17日12:13 [A]東大レベル! ebiyuu1121
正解

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$7^{7^7}$ を $777$ で割ったあまりを求めよ。

(注:$7^{7^7}$ は「 $7$ の「 $7$ の $7$ 乗」乗」を表すものとする。)

解答形式

$0$ 以上 $776$ 以下の整数を、半角数字で1行目に入力せよ。

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$N$ を正の整数として、以下の条件をすべて満たす数列 $\{a_n \}$ $(n=1,2,...)$ を考える。

・$a_1=1$
・$a_N=2020$
・すべての正の整数 $n$ について $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{4a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}- \frac{2}{a_{n+1}}+4$ が成り立つ。

このとき、$N=\fbox{アイ}$ である。また $a_7=\fbox{ウエオ}$ である。

解答形式

ア〜オには、0から9までの数字が入る。
$N=\fbox{アイ}$ の答えとして、文字列「アイ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
$a_7=\fbox{ウエオ}$ の答えとして、文字列「ウエオ」をすべて半角で2行目に入力せよ。

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$f(x)=-16x^3+24x^2-9x+1$ とおく。以下の問いに答えよ。

⑴ 以下の式が $\theta$ の恒等式になるように空欄を埋めよ。なお、同じ文字の空欄には同じ数が入る。

$$
f\left( \frac{\fbox{ア}+\sin\theta}{\fbox{イ}}\right)=\frac{\fbox{ア}+\sin(\fbox{ウ}\theta)}{\fbox{イ}}
$$

⑵ 次の定積分を求めよ。
$$
\int_ {0.5} ^{0.75} f(f(f(x))) dx = \frac{\fbox{エオカ}}{\fbox{キクケコ}}
$$

解答形式

ア〜コには、0から9までの数字が入る。
⑴の答えとして、文字列「アイウ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
⑵の答えとして、文字列「エオカキクケコ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で答えよ。

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問題文

$a$ を実数の定数とする。正の実数値をとる関数 $y(x)$ は何回でも微分可能で、

$$
\begin{cases}
2yy''''+(y'')^2=2y'y'''+a & (x \in {\mathbb R})\\
y'(0)=y''(0)=0 \\
y'''(0)=y''''(0)=1
\end{cases}
$$

を満たすとする。$\displaystyle a=\frac{50}{17}$ のとき、($x$ が実数全体を動くときの)$y(x)$ の最小値は $\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエオ}}$ である。

解答形式

ア〜オには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。

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$\dfrac{n^2+2020}{2n}$が自然数となるような自然数$n$の総和を求めよ。

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解答を半角数字で入力してください。

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$1\thicksim6$までの数字を$1$回ずつ使って空欄を埋め以下の等式を成立させてください。解が存在しない場合はその旨を答えてください。

$(1)\square\square\times\square=\square\square\square$
$(2)\square\square+\square\square=\square\square$

解答形式

1行目に$(1)$、2行目に$(2)$の解を入力してください。
等式をすべて半角で入力してください。ただし、「$\times$」はx(小文字のエックス)で代用するものとします。
存在しない場合は-1を入力してください。
また、解が複数存在する場合はどれを回答してもかまいません。

(例)
$3\times7=21$と入力する場合 3x7=21
$3+7=21$と入力する場合 3+7=10

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このとき, 線分$OD$が線分$AC$によって二等分されるような点$D$が円周上に取れるような$\theta$の取りうる範囲を求めよ。

解答形式

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$$a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = k$$
を満たすものとします。$k$の最小値を求めてください。

解答形式

半角数字で回答してください。

備考

  • 6/10 14:26 問題文を「非負整数」→「正の整数」に修正しました。

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$r$ を正の整数とする。$xyz$ 空間において,原点を中心とする半径 $\sqrt{r}$ の球面を $S_r$ で表すとき,次の問いに答えなさい。

  1. $S_r$ が格子点を含まないような最小の $r$ を求めなさい。
  2. $S_r$ が格子点を含まず,$r$ が $8$ の倍数であるような最小の $r$ を求めなさい。

※点 $(x,y,z)$ が格子点であるとは,$x,y,z$ がすべて整数であることをいう。

解答形式

改行区切りで,1行目に 1. の答えを,2行目に 2. の答えを入力してください。

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ただし, $\log_{10}{2}=0.3010$ とする。

解答形式

答えを半角数字で入力してください。

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解答形式

50629の素因数を小さい順に1,2,3......行目に半角数字で入力せよ。

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$n$ を非負整数とする。縦の長さが $3$,横の長さが $2n$ の長方形をした部屋を,辺の長さが $1$ と $2$ の長方形の畳で敷き詰める方法の総数を $a_n$ とする。ただし,部屋を固定したとき,畳を回転または反転させて一致するような敷き詰め方は区別して数える。また,便宜上 $a_0=1$ と約束する。

例えば,縦の長さが $3$,横の長さが $2$ である部屋を畳で敷き詰める方法は
の $3$ 通りだから $a_1=3$ である。このとき
$$
a_n=\fbox{ア}\;a_{n-1}+\fbox{イ}\;\sum_{k=0}^{n-2}a_k\quad (n=2,3,\cdots)
$$が成り立つから
$$
a_4=\fbox{ウエオ}
$$である。また,上の漸化式を変形すると
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\fbox{カ}+\sqrt{\fbox{キ}}
$$が成り立つことが分かる。

解答形式

$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{キ}$ には,半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{キ}$ に当てはまるものを,改行区切りで入力してください。