[C]ジャックポット

masorata 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年10月17日10:00 正解数: 17 / 解答数: 26 (正答率: 65.4%) ギブアップ不可
整数問題
この問題はコンテスト「第1回まそらた杯」の問題です。

全 26 件

回答日時 問題 解答者 結果
2020年10月21日23:33 [C]ジャックポット baba
正解
2020年10月18日14:07 [C]ジャックポット maborosigin
正解
2020年10月18日2:06 [C]ジャックポット mathyuuugo
正解
2020年10月18日1:22 [C]ジャックポット pn8128
正解
2020年10月18日1:07 [C]ジャックポット Ricky_pon
正解
2020年10月17日21:03 [C]ジャックポット tanimoto
正解
2020年10月17日19:56 [C]ジャックポット okachan6666
正解
2020年10月17日14:24 [C]ジャックポット mochimochi
正解
2020年10月17日14:04 [C]ジャックポット mayuco
不正解 (0/1)
2020年10月17日13:54 [C]ジャックポット mayuco
不正解 (0/1)
2020年10月17日13:09 [C]ジャックポット sksn1723
正解
2020年10月17日13:05 [C]ジャックポット lucywithsongs
正解
2020年10月17日13:01 [C]ジャックポット nanka
正解
2020年10月17日12:42 [C]ジャックポット Hnt8qLqtdfuHRiS
不正解 (0/1)
2020年10月17日12:05 [C]ジャックポット halphy
正解
2020年10月17日12:04 [C]ジャックポット tkg06269476
正解
2020年10月17日12:03 [C]ジャックポット halphy
不正解 (0/1)
2020年10月17日12:03 [C]ジャックポット num_amy_dbt
正解
2020年10月17日12:00 [C]ジャックポット tkg06269476
不正解 (0/1)
2020年10月17日11:56 [C]ジャックポット lucywithsongs
不正解 (0/1)
2020年10月17日11:51 [C]ジャックポット Gin
正解
2020年10月17日11:39 [C]ジャックポット ofukufukufuku
正解
2020年10月17日11:04 [C]ジャックポット nesya
正解
2020年10月17日11:00 [C]ジャックポット nesya
不正解 (0/1)
2020年10月17日10:15 [C]ジャックポット fusshi
不正解 (0/1)

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$f(x)=-16x^3+24x^2-9x+1$ とおく。以下の問いに答えよ。

⑴ 以下の式が $\theta$ の恒等式になるように空欄を埋めよ。なお、同じ文字の空欄には同じ数が入る。

$$
f\left( \frac{\fbox{ア}+\sin\theta}{\fbox{イ}}\right)=\frac{\fbox{ア}+\sin(\fbox{ウ}\theta)}{\fbox{イ}}
$$

⑵ 次の定積分を求めよ。
$$
\int_ {0.5} ^{0.75} f(f(f(x))) dx = \frac{\fbox{エオカ}}{\fbox{キクケコ}}
$$

解答形式

ア〜コには、0から9までの数字が入る。
⑴の答えとして、文字列「アイウ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
⑵の答えとして、文字列「エオカキクケコ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で答えよ。

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$N$ を正の整数として、以下の条件をすべて満たす数列 $\{a_n \}$ $(n=1,2,...)$ を考える。

・$a_1=1$
・$a_N=2020$
・すべての正の整数 $n$ について $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{4a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}- \frac{2}{a_{n+1}}+4$ が成り立つ。

このとき、$N=\fbox{アイ}$ である。また $a_7=\fbox{ウエオ}$ である。

解答形式

ア〜オには、0から9までの数字が入る。
$N=\fbox{アイ}$ の答えとして、文字列「アイ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
$a_7=\fbox{ウエオ}$ の答えとして、文字列「ウエオ」をすべて半角で2行目に入力せよ。

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次の条件(a), (b)をともに満たす自然数($1$ 以上の整数)$\rm{A}$ の最小値を求めよ。

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解答形式

半角数字のみで1行目に入力せよ。

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$a$ を実数の定数とする。正の実数値をとる関数 $y(x)$ は何回でも微分可能で、

$$
\begin{cases}
2yy''''+(y'')^2=2y'y'''+a & (x \in {\mathbb R})\\
y'(0)=y''(0)=0 \\
y'''(0)=y''''(0)=1
\end{cases}
$$

を満たすとする。$\displaystyle a=\frac{50}{17}$ のとき、($x$ が実数全体を動くときの)$y(x)$ の最小値は $\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエオ}}$ である。

解答形式

ア〜オには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。

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(1) $a,b$ を整数でない正の有理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(2) $a$ を整数でない正の有理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

解答方法

解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。

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$1\thicksim6$までの数字を$1$回ずつ使って空欄を埋め以下の等式を成立させてください。解が存在しない場合はその旨を答えてください。

$(1)\square\square\times\square=\square\square\square$
$(2)\square\square+\square\square=\square\square$

解答形式

1行目に$(1)$、2行目に$(2)$の解を入力してください。
等式をすべて半角で入力してください。ただし、「$\times$」はx(小文字のエックス)で代用するものとします。
存在しない場合は-1を入力してください。
また、解が複数存在する場合はどれを回答してもかまいません。

(例)
$3\times7=21$と入力する場合 3x7=21
$3+7=21$と入力する場合 3+7=10

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緑色の線分の長さは1です。
このとき、円の面積を求めてください。
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答えは(分数)×πの形になります。
分子を1行目に、分母を2行目に半角数字で入力してください。
ただし、既約分数の形で解答してください。
例: (10/3)π → 1行目に10、2行目に3

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例えば,縦の長さが $3$,横の長さが $2$ である部屋を畳で敷き詰める方法は
の $3$ 通りだから $a_1=3$ である。このとき
$$
a_n=\fbox{ア}\;a_{n-1}+\fbox{イ}\;\sum_{k=0}^{n-2}a_k\quad (n=2,3,\cdots)
$$が成り立つから
$$
a_4=\fbox{ウエオ}
$$である。また,上の漸化式を変形すると
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\fbox{カ}+\sqrt{\fbox{キ}}
$$が成り立つことが分かる。

解答形式

$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{キ}$ には,半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{キ}$ に当てはまるものを,改行区切りで入力してください。

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$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分

$$
\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx
$$

を計算せよ。

解答形式

piまたは 355/113 で解答してください。

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$y=\tan x \; \left(-\cfrac{\pi}{2}<x<\cfrac{\pi}{2}\right)$ の逆関数を $x=f(y)$ とする.このとき,
$$
S=\sum_{n=0}^\infty f\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)
$$を求めよ.答えは,整数ア・イを用いて
$$
S=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}\pi
$$と既約分数の形でかける.

解答形式

アとイをそれぞれ1行目、2行目に半角数字で入力せよ.

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相異なる正の実数 $a,b,c$ が $ab^2(1-b)=bc^2(1-c)=ca^2(1-a)$ を満たして動くとき、$(1-a)(1-b)(1-c)$ の最大値は

$$
\displaystyle \frac{\fbox{アイウ}+\fbox{エオ}\sqrt{\fbox{カ}}}{\fbox{キクケ}}
$$

である。

解答形式

ア〜ケには、0から9までの数字、または-(マイナス)が入る。文字列「アイウエオカキク」を全て半角で1行目に入力せよ。ただし、それ以上約分できない形で、かつ根号の中身が最小になるように答えよ。