[A] minimum value (easy)

okapin 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年10月30日20:00 正解数: 8 / 解答数: 11 (正答率: 72.7%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「Okapin Mathematical Contest 2」の問題です。

全 11 件

回答日時 問題 解答者 結果
2021年4月14日13:35 [A] minimum value (easy) ゲスト
不正解
2021年1月24日22:46 [A] minimum value (easy) SGR
正解
2020年10月31日11:25 [A] minimum value (easy) ebiyuu1121
不正解
2020年10月31日8:52 [A] minimum value (easy) baba
正解
2020年10月31日8:51 [A] minimum value (easy) minaduki_foo
不正解
2020年10月31日1:31 [A] minimum value (easy) mochimochi
正解
2020年10月31日0:42 [A] minimum value (easy) sapphire15
正解
2020年10月31日0:34 [A] minimum value (easy) nesya
正解
2020年10月30日22:54 [A] minimum value (easy) masorata
正解
2020年10月30日22:16 [A] minimum value (easy) ofukufukufuku
正解
2020年10月30日20:05 [A] minimum value (easy) halphy
正解

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ある大きさの球から、ある直径の円柱をくりぬいた。円柱の軸は球の中心を通る。(ビーズのような形を想像してください)
この立体の体積が$36\pi$のとき、以下のうちいずれかの値が一意に定まる。

  1. 円柱の底面の半径
  2. 球の半径
  3. 円柱の深さ

一意に定まるものの番号と、その値を求めよ。

解答形式

一意に定まるものの番号を半角数字で1行目に、その値を2行目に入れてください。2行目は整数または既約分数で答えてください。

解答例

1
4

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(1) 1回目の試行で終わる確率はいくらか。
(2) 2回目の試行で終わる確率はいくらか。

解答形式

(1)の答えを1行目に、(2)の答えを2行目に既約分数で入れてください。

解答例

1/2
3/10

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$k$を$0$以上の実数, $e$を自然対数の底とする。数列$a_n$を
$$a_n=\frac{n!e^n}{n^{n+k}}$$
と定める。任意の自然数$n$に対して, $a_{n+1} < a_n$が成り立つような最小の$k$を求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。

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(1)$p$を奇素数とし、$\frac{1}{p}$を2進数で表示したときの循環節(※)が2以上8以下であるような$p$は6つ存在する。フェルマーの小定理を用いて$p$とその$p$に対する$\frac{1}{p}$の循環節の長さの関係を導き、6つの$p$の値を全て答えよ。

(2)$p$を奇素数とし、$\frac{1}{p}$を2進数で表示したときに最大で1が連続して並ぶ個数を$f(p)$とおく。例えば$\frac{1}{3}=0.01010…_{(2)}$より$f(3)=1$である。(1)を満たす$p$の中で$f(p)$が最大となるのは$p$がいくらのときか。Midyの定理を用いることによって求め、その値を答えよ。


(※)循環節とは、循環小数の繰り返される数字の列のうちその長さが最小でありかつその先頭が最も先に来るようなもののことである。例えば$\frac{1}{3}=0.01010…_{(2)}$となり、このときの循環節は$01$であり、$0101$や$10$は循環節とならない。


解答形式

(1)の全ての答えを小さい順に1~6行目に半角数字で入力してください。また、(2)の答えを7行目に半角数字で入力してください。

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$a,b$を$a>1,b>1$を満たす実数とする。
$\theta$が$0\leq\theta<2\pi$の範囲を動くとき$f(\theta)=\sqrt{a^2-2a\cos\theta+1}+\sqrt{b^2-2b\sin\theta+1}$の最小値が$\sqrt{a^2+b^2}$となるような$(a,b)$の存在範囲を$ab$平面に図示したとき、その領域の面積を求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。
半角で入力してください。

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解答形式

半角数字で解答してください。

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半角数字で解答してください。

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A君は $38\times 57$ を次のように計算した。

$$
\newcommand{\nc}{\newcommand}
\nc{\wake}[1]{\begin{cases} #1 \end{cases}}
\nc{\f}[2]{\dfrac{#1}{#2}}
\nc{\s}[1]{\{#1\}}
\nc{\pmat}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\nc{\lr}[1]{\left( #1 \right)}
\nc{\com}[2]{{}_{#1}{\rm C}_{#2} \right)}
\nc{\bar}[1]{{\overline{#1}}}
\nc{\bb}[1]{{\mathbb {#1}}}
\nc{\rmn}[1]{{\rm #1}}
\nc{\q}{\quad}
\nc{\x}{\times}
\nc{\a}{\alpha}
\nc{\b}{\beta}
\nc{\th}{\theta}
\nc{\Q}[1]{\fbox{#1}}
\nc{\qq}{&\q\q\q\q\q&}\begin{eqnarray}38\qq 57 \qq \rm x\\19\qq 114\qq \rm o\\9\qq 228\qq \rm o\\4\qq 456\qq \rm x\\2\qq 912\qq \rm x\\1\qq \underline{1824}\qq \rm o\\ \qq 2166\qq \rm \\\end{eqnarray}
$$

A君の計算方法に基づいて以下の $43\x 71$ の計算の空欄を埋めよ。

$$
\nc{\qq}{&\q\q\q\q\q&}\begin{eqnarray}43\qq 71 \qq \rm o\\\Q{ア}\qq \Q{オ}\qq \rm \Q{ケ}\\\Q{イ}\qq \Q{カ}\qq \rm \Q{コ}\\\Q{ウ}\qq \Q{キ}\qq \rm \Q{サ}\\\Q{エ}\qq \Q{ク}\qq \rm \Q{シ}\\1\qq \underline{2272}\qq \rm o\\ \qq 3053\qq \rm \\\end{eqnarray}
$$

解答を改行区切りで入力せよ。ただし $\Q{ア}$ から $\Q{ク}$ には 1 から 9999 までの整数が入り、 $\Q{ケ}$ から $\Q{シ}$ には o または x が入る。

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解答形式

半角数字で解答してください。

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問題文

数列 $ \{ a_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
a_1=2,\ a_2=3,\ a_{n+1} = \max_{1 \leqq k \leqq n} \{ (n-k+1)a_k \}\ (n \geqq 2)
$$

で定める。$ \{ a_n \} $ の一般項を求め、さらに $\log_{3}{(a_{6062})}$ の値を求めよ。

解答形式

$\log_{3}{(a_{6062})}$ はある自然数となるので、その値を半角数字で答えよ。

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問題文

おかぴんはチョコレート入りの袋が3袋入った箱を持っていて、これから食べようとしています。
しかし、おかぴんは怠惰なので食べ終わった空の袋を捨てずに、再び箱の中に入れてしまいます。
箱の中から1袋ずつ取り出して、それがチョコレートの入った袋だったなら食べて箱の中に空の袋を戻し、それが空の袋だったなら食べずにそのまま箱の中に戻す、という試行を繰り返します。
チョコレートの入った袋を取り出す確率も空の袋を取り出す確率も同様に確からしいとするとき、箱の中の全てのチョコレートを食べ終えるまでの試行回数の期待値を求めてください。

解答形式

答えは$\frac{\fboxア}{\fboxイ}$(ただし既約分数)となります。$\fboxア\fboxイ$に入る数字をそれぞれ1,2行目に半角で入力してください。