[F] endless sequence

okapin 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年10月30日20:00 正解数: 8 / 解答数: 9 (正答率: 88.9%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「Okapin Mathematical Contest 2」の問題です。

問題文

(1)$p$を奇素数とし、$\frac{1}{p}$を2進数で表示したときの循環節(※)が2以上8以下であるような$p$は6つ存在する。フェルマーの小定理を用いて$p$とその$p$に対する$\frac{1}{p}$の循環節の長さの関係を導き、6つの$p$の値を全て答えよ。

(2)$p$を奇素数とし、$\frac{1}{p}$を2進数で表示したときに最大で1が連続して並ぶ個数を$f(p)$とおく。例えば$\frac{1}{3}=0.01010…_{(2)}$より$f(3)=1$である。(1)を満たす$p$の中で$f(p)$が最大となるのは$p$がいくらのときか。Midyの定理を用いることによって求め、その値を答えよ。


(※)循環節とは、循環小数の繰り返される数字の列のうちその長さが最小でありかつその先頭が最も先に来るようなもののことである。例えば$\frac{1}{3}=0.01010…_{(2)}$となり、このときの循環節は$01$であり、$0101$や$10$は循環節とならない。


解答形式

(1)の全ての答えを小さい順に1~6行目に半角数字で入力してください。また、(2)の答えを7行目に半角数字で入力してください。


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解答提出

この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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整数または既約分数で答えてください。
半角で入力してください。

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(1) 1回目の試行で終わる確率はいくらか。
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解答形式

(1)の答えを1行目に、(2)の答えを2行目に既約分数で入れてください。

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  3. 円柱の深さ

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解答形式

一意に定まるものの番号を半角数字で1行目に、その値を2行目に入れてください。2行目は整数または既約分数で答えてください。

解答例

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整数または既約分数で答えてください。

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半角で入力してください。

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$$
A=
\begin{pmatrix}
6& -3 & -7 & 0 & 0 & 0\\
-1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\
5& -3 & -6 & 0 & 0 & 0\\
0& 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\
0& 0 & 0 & -1 & 4 & 1\\
0& 0 & 0 & 2 & -4 & 0\\
\end{pmatrix}
$$
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$$
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$$
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$$
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$$

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$$
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$$
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解答形式

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解答形式

一行目に式を満たす組が何組あるか答えよ。また、そのような組の中で、$t$が最大であるものについて、$p,q,r,s,t$の値をそれぞれ2行目、3行目、4行目…へ記入せよ。いずれも数字のみ記入せよ。

(本当は解き方まで見たいですが、個別判定が大変なのでこの形式にします。できれば、なぜそうなるかもしっかり考えてください。)