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halphy
はるふぃです。
数学の問題を作っていましたが、
クソなぞなぞのほうが好評なので
クソなぞなぞ作家になりました。
気が向いたときにゆるゆる投稿していきます。

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問題投稿数31
解答された数404
いいねされた数30
解答した数160
正解した数112
正解率70.0%

人気問題

クソなぞふぃ #01

halphy 自動ジャッジ 難易度:
4月前

50

問題文

アマゾン川を逆流する古いロッカーってな〜んだ?

クソなぞふぃ #03

halphy 自動ジャッジ 難易度:
4月前

39

問題文

翼がほしいときに言うセリフは?
ただし相手はアメリカ人だとします。

クソなぞふぃ #04

halphy 自動ジャッジ 難易度:
4月前

35

問題文

最近、重いものを運搬するときに頭に乗せて運ぶ人をよく見かけますね。
それでは、特に頭に本を乗せて運ぶ人のことをなんというでしょう?

寿司

halphy 自動ジャッジ 難易度:
4月前

34

解答形式

ひらがなで入力してください。

クソなぞふぃ #05

halphy 自動ジャッジ 難易度:
4月前

32

問題文

星野源と結婚してそうな人のレポートってな〜んだ?

*7/19 1:37, 1:41 別解を追加しました。

クソなぞふぃ #07

halphy 自動ジャッジ 難易度:
3月前

30

問題文

ロシアの首都で人をハンバーガーショップに誘うとき何と言うでしょう?

*7/19 1:03 別解を追加しました。

新着問題

[E] Centrosymmetry

halphy 自動ジャッジ 難易度:
55日前

4

問題文

$P$ を $n\times n$ 行列とする。$P$ の第 $(i, j)$ 成分と第 $(n-i+1, n-j+1)$ 成分がつねに一致するとき,$P$ を点対称行列と呼ぶことにする。例えば $n=4$ なら,$P$ は一般に

$$
P=\begin{pmatrix} a & b & h & g \\ c & d & f & e \\ e & f & d & c \\ g& h & b & a \end{pmatrix}
$$

という形をしている。$E'$ を $4\times 4$ の単位行列とし,$4\times 4$ 行列 $J'$ を

$$
J'=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

で定義する。

(1) 一般の $4\times 4$ 行列 $X$ に対して,$XJ'$ の $(\fbox{ア},\fbox{イ})$ 成分と $X$ の $(1,2)$ 成分は一致する。また,$J'X$ の $(\fbox{ウ},\fbox{エ})$ 成分と $X$ の $(1,2)$ 成分は一致する。よって, $4\times 4$ 行列 $P$ が点対称行列であることは,$J'PJ'=P$ が成り立つことと同値である。

(2) $E$ を $2\times 2$ の単位行列とし,$2\times 2$ 行列 $J$ を

$$
J=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
$$

で定義する。$4\times 4$ 点対称行列 $P$ が,ある $2\times 2$ 行列 $A,B,C,D$ を用いて

$$
P=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
$$

と表せたとする。(1) と同様の考察より,$D=JAJ, B=JCJ$ である。$4\times 4$ 行列 $Q$ を

$$
Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} E & -J \\ J & E \end{pmatrix}
$$

で定めると,$Q^{\rm T}Q=\fbox{オ}$ であり

$$
Q^{\rm T}PQ=\begin{pmatrix} \fbox{カ}+\fbox{キク} & \fbox{ケ} \\ \fbox{コ} & \fbox{サシス}-\fbox{セソ} \end{pmatrix}
$$

が成り立つ。

(3) $p$ を実定数とする。(2) の結果を利用して,行列

$$
P=\begin{pmatrix} 0 & p & 0 & 1-p \\ 0 & p^2 & 1-p & p(1-p) \\ p(1-p) & 1-p & p^2 & 0 \\ 1-p & 0 & p & 0 \end{pmatrix}
$$

の固有値を求めよう。$p=\cfrac{13}{15}$ のとき,$P$ の固有値は大きい順に

$$
\fbox{タ}, \frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}, \frac{\fbox{テ}}{\fbox{トナ}}, \frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌネノ}}
$$

である。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{ノ}$ には,半角数字 0 - 9 ,記号 - ,4×4行列 E', J' ,2×2行列 E, J, A, C, O のいずれかが当てはまります(B, Dを使って解答することはできません。O は零行列を表します)。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{ノ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。

[C] A Downward Tower

halphy 自動ジャッジ 難易度:
55日前

1

問題文

$n=0,1,\cdots$ に対し,$I_n$を
$$
I_n=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}k!(2n+2k-1)!!}
$$で定める。ただし $(-1)!!=1$ とする。この級数は収束することが知られている(例えば,ダランベールの判定法を適用すればよい)。特に
$$
I_0+I_1=\fbox{ア}
$$である。また,$\{I_n\}$ は漸化式
$$
I_{n-1}-I_{n+1}=(\,\fbox{イ}\,n-\fbox{ウ}\,)I_n\quad(n=1,2,\cdots)
$$を満たし
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}=\fbox{エ}
$$が成り立つ。これらの結果を用い,漸化式を変形すると
$$
1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{\ddots}}}}=\frac{\fbox{オ}^{\fbox{カ}}+\fbox{キ}}{\fbox{ク}^{\fbox{ケ}}-\fbox{コ}}
$$が得られる。ただし $\fbox{オ}\neq\fbox{キ}$ とする。

注意

自然数 $n\geq 1$ に対し,$n!!$ は $1$ 個とばしの階乗を表す。例えば,$n$ が奇数のとき
$$
n!!=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1
$$である。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{コ}$ には,半角数字 0 - 9 ,記号 - ,円周率 π ,自然対数の底 e のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{コ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。

[D] Eigensequence

halphy 自動ジャッジ 難易度:
2月前

6

問題文

漸化式
$$
a_{n+3}=3a_{n+2}-4a_{n+1}+2a_n\quad (n=1,2,\cdots)
$$および
$$
a_1=1, \; a_2=0, \; a_3=0
$$を満たす数列 $\{a_n\}$ を考える。次の空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{フ}$ に当てはまる数字を答えなさい。

  • 漸化式
    $$
    a_{n+3}=3a_{n+2}-4a_{n+1}+2a_n\quad (n=1,2,\cdots)
    $$を満たす数列全体の集合を $V$ とする。数列 $a_n, b_n\in V$ および $c\in\mathbb{C}$ に対して,第 $n$ 項が $ca_n, a_n+b_n$ であるような数列をそれぞれ数列 $a_n$ の $c$ 倍,数列 $a_n, b_n$ の和と定義することにすると,この和とスカラー倍により $V$ は $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間になる(確かめよ)。ここで,$V$ の元 $a_n$ は,$a_1, a_2, a_3$ を定めることで完全に決定できる。すなわち,写像 $\varphi: V \to \mathbb{C}^3$ を
    $$
    \varphi(a_n)=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}
    $$で定めると,$\varphi$ は全単射である。しかも,$\varphi$ は線型写像だから,$\varphi$ はベクトル空間の同型になる。$V$ は $\fbox{ア}$ 次元である。また,$e_n^{(1)}, e_n^{(2)}, e_n^{(3)}\in V$ を
    $$
    \varphi(e_n^{(1)})=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\; \varphi(e_n^{(2)})=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\; \varphi(e_n^{(3)})=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}
    $$となるように定めると,$e_n^{(1)}, e_n^{(2)}, e_n^{(3)}$ は $V$ の基底になる。

  • $V$ 上の線型変換 $L: V\to V$ を次のように定義する。$a_n\in V$ に対して,$L(a_n)$ を第 $1, 2, 3$ 項がそれぞれ $a_2, a_3, a_4$ である数列とする($L$ が線型写像になることを確かめよ)。このとき,$L(a_n)$ の第 $n$ 項は $a_{n+\fbox{イ}}$ である。基底 $e_n^{(1)}, e_n^{(2)}, e_n^{(3)}$ のもとでの $L$ の表現行列 $L_A$ は
    $$
    L_A=\begin{pmatrix} \fbox{ウ} & \fbox{エ} & * \\ \fbox{オ} & \fbox{カ} & \fbox{キ} \\ \fbox{ク} & \fbox{ケコ} & \fbox{サ}\end{pmatrix}
    $$である。

  • $L_A$ の固有値を $\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \lambda^{(3)}$ とする($\lambda^{(1)}\in\mathbb{R}, {\rm Im}(\lambda^{(2)})>0, {\rm Im}(\lambda^{(3)})<0$)。このとき
    \begin{align}
    \lambda^{(1)}&=\fbox{シ}\\
    {\rm Re}(\lambda^{(2)})={\rm Re}(\lambda^{(3)})&=\fbox{ス}\\
    {\rm Im}(\lambda^{(2)})=-{\rm Im}(\lambda^{(3)})&=\fbox{セ}
    \end{align}である。

  • 固有値 $\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \lambda^{(3)}$ に対応する固有ベクトルをそれぞれ $\alpha^{(1)}, \alpha^{(2)}, \alpha^{(3)}$ とする。固有ベクトルには定数倍の不定性があるが,$\alpha^{(j)}\;(j=1,2,3)$ の第 $1$ 成分が固有値 $\lambda^{(j)}$ に一致するようにとると
    \begin{align}
    \alpha^{(1)}=\begin{pmatrix} \lambda^{(1)} \\ \fbox{ソ} \\ * \end{pmatrix},\; \alpha^{(2)}=\begin{pmatrix} \lambda^{(2)} \\ \fbox{タ}\;i \\ * \end{pmatrix},\; \alpha^{(3)}=\begin{pmatrix} \lambda^{(3)} \\ * \\ \fbox{チツ}-\fbox{テ}\;i \end{pmatrix}
    \end{align}である。

  • $\varphi(\beta_n^{(1)})=\alpha^{(1)}, \;\varphi(\beta_n^{(2)})=\alpha^{(2)}, \;\varphi(\beta_n^{(3)})=\alpha^{(3)}$ となる数列 $\beta_n^{(1)}, \beta_n^{(2)}, \beta_n^{(3)}\in V$ をとる。$\beta_n^{(1)}, \beta_n^{(2)}, \beta_n^{(3)}\in V$ は $V$ の基底をなすから,$V$ の任意の元 $a_n$ はこれらの線型結合で表すことができる。例えば,$a_n\in V$ が
    $$
    a_1=1, \; a_2=0, \; a_3=0
    $$を満たすとき
    $$
    a_n=\fbox{ト}\;\beta_n^{(1)}-\frac{\beta_n^{(2)}-\beta_n^{(3)}}{\fbox{ナ}\; i}
    $$が成り立つ。これを変形すると
    $$
    a_n=\fbox{ニ}-\left(\sqrt{\fbox{ヌ}}\;\right)^n\sin\left(\frac{n\pi}{\fbox{ネ}}\right)
    $$となる。また,$a_1,\cdots, a_{100}$ のうち $a_n$ が最大となるのは $n=\fbox{ノハ}, \fbox{ヒフ}$ のときである。ただし $\fbox{ノハ} < \fbox{ヒフ}$ とする。

※この問題では,数列とは写像 $a: \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ のことをいう。$n\in\mathbb{N}$ に対して,$a(n)$ のことを単に $a_n$ と表記する。また,記号の濫用であるが $a$ を $\{a_n\}, a_n$とも書く。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{フ}$ には,半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{フ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。

[B] Dots on the Ball

halphy 自動ジャッジ 難易度:
2月前

20

問題文

$r$ を正の整数とする。$xyz$ 空間において,原点を中心とする半径 $\sqrt{r}$ の球面を $S_r$ で表すとき,次の問いに答えなさい。

  1. $S_r$ が格子点を含まないような最小の $r$ を求めなさい。
  2. $S_r$ が格子点を含まず,$r$ が $8$ の倍数であるような最小の $r$ を求めなさい。

※点 $(x,y,z)$ が格子点であるとは,$x,y,z$ がすべて整数であることをいう。

解答形式

改行区切りで,1行目に 1. の答えを,2行目に 2. の答えを入力してください。

クソなぞふぃ #08

halphy 自動ジャッジ 難易度:
2月前

10

問題文

とうとう曲の終結部にたどり着いた競技プログラマーが言うセリフは?

クソなぞふぃ #07

halphy 自動ジャッジ 難易度:
3月前

30

問題文

ロシアの首都で人をハンバーガーショップに誘うとき何と言うでしょう?

*7/19 1:03 別解を追加しました。

開催したコンテスト

コンテスト名 開始日時 終了日時 作成者
KOH Mathematical Contest #3 2020年8月30日18:00 2020年8月31日0:00 ofukufukufuku ofukufukufuku hinu hinu wa1t_sush1 wa1t_sush1 halphy halphy
KOH Mathematical Contest #2 2020年8月15日18:00 2020年8月16日0:00 ofukufukufuku ofukufukufuku hinu hinu halphy halphy
KOH Mathematical Contest #1 2020年6月28日18:00 2020年6月29日0:00 ofukufukufuku ofukufukufuku hinu hinu halphy halphy

参加したコンテスト

順位 コンテスト名 得点 終了日時 作成者
5 第1回まそらた杯 80 2020年10月18日22:00 masorata masorata
5 Okapin Mathematical Contest 100 2020年9月13日0:00 okapin okapin fusshi fusshi EdamakiD EdamakiD kaicho kaicho