整数問題②

lucy 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年6月8日1:47 正解数: 8 / 解答数: 10 (正答率: 80%) ギブアップ不可

問題文

$p^2+q^2+r^2+s^2=t^4+1$を満たす素数$(p,q,r,s,t)$の組を全て求めよ。但し$p\leq q\leq r\leq s$とする。

解答形式

一行目に式を満たす組が何組あるか答えよ。また、そのような組の中で、$t$が最大であるものについて、$p,q,r,s,t$の値をそれぞれ2行目、3行目、4行目…へ記入せよ。いずれも数字のみ記入せよ。

(本当は解き方まで見たいですが、個別判定が大変なのでこの形式にします。できれば、なぜそうなるかもしっかり考えてください。)


ヒント1

このタイプになれている人なら「多分何個かは2だ」と考えると思います。そこをどうやってちゃんとした理屈で確定付けられるかがポイントです。偶奇だけで考えると少し攻めきれないようですが…


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$$
\left(\sum_{n=1}^{24}\frac{n}{x_n}\right)\times\left(\sum_{n=1}^{24}nx_n\right)
$$

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半角数字で解答してください。

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$$
\int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos{x}-x}{1+\sin{x}}dx
$$

を計算せよ。

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半角数字で答えよ。無理数や記号等を用いる場合はTeX形式で入力せよ。

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$$
a_1=2,\ a_2=3,\ a_{n+1} = \max_{1 \leqq k \leqq n} \{ (n-k+1)a_k \}\ (n \geqq 2)
$$

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半角で入力してください。