非負整数$n$に対し関数$f$を次のように定める。
$$f(n) = \frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}$$
$1$から$2020$までの整数について$f(n)$が整数となるような$n$の個数を求めよ。
半角数字で入力せよ。
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ピザが1枚ずつ乗った $N\;(\geq 2)$ 枚の皿が横一列に並んでいます.ピザには表と裏があり,表には具がのっていて,裏にはのっていません.はじめ,すべての皿のピザは表が上になっています.これらのピザに対して,次の操作Xを考えます.
操作X:
この操作Xを$\;N-1\;$回繰り返すと,1枚の皿にピザの塔ができます.操作Xの $N-1$ 回の繰り返しをピザの調理ということにします.ピザの塔を構成するピザを,上から順に$\;P_i\; (i=1,\cdots, N)\;$とし,$P_i$ が表を上に向けているとき「表」,裏を上に向けているとき「裏」と書くことにすると,ピザの塔は「裏裏裏表」のように表すことができます.
$N=6$とします.「裏裏裏裏表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.
半角数字で入力してください.
おかぴんはチョコレート入りの袋が3袋入った箱を持っていて、これから食べようとしています。 しかし、おかぴんは怠惰なので食べ終わった空の袋を捨てずに、再び箱の中に入れてしまいます。 箱の中から1袋ずつ取り出して、それがチョコレートの入った袋だったなら食べて箱の中に空の袋を戻し、それが空の袋だったなら食べずにそのまま箱の中に戻す、という試行を繰り返します。 チョコレートの入った袋を取り出す確率も空の袋を取り出す確率も同様に確からしいとするとき、箱の中の全てのチョコレートを食べ終えるまでの試行回数の期待値を求めてください。
答えは$\frac{\fboxア}{\fboxイ}$(ただし既約分数)となります。$\fboxア\fboxイ$に入る数字をそれぞれ1,2行目に半角で入力してください。
$n\geq 2$ を自然数とする。$2$ 進数表記で \begin{equation} N=\underbrace{11\cdots 11}_n \underbrace{00\cdots 00} _ {n-1} {} _ {(2)} \end{equation}と表される自然数 $N$ を考える。$n=13$ のとき,$N$ の正の約数の総和を求めなさい。
$2$ 進数で答えなさい。
全長 $L$ mのリムジンが、下図のように直角に曲がったトンネルを、幅 $a(>0)$ mの道から幅 $b(>0)$ mの道へ曲がろうとしている。 このとき、リムジンがトンネルを曲がることのできる最大の全長 $L_{max}$ (m)を求めよ。なお、車の全幅は考えなくて良いものとする。
$a=5,b=6$のときの$L_{max}$の値を関数電卓を用いて計算せよ。答えは、小数第4位の数字を四捨五入したものを解答せよ。
$n\;(\geq 2)$ を自然数とするとき,以下の試行を行うことを考える。
試行
$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行い,全員が生存するか全員が脱落するとき,modじゃんけんの結果はあいこになると定義する。
$n$ 人がmodじゃんけんを $1$ 回行ってあいこになる確率を $p_n$ とするとき
$$ p_2=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\; p_3=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}},\; p_4=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カキ}} $$
である。$n$ を $\fbox{ク}$ で割った余りが $\fbox{ケ}$ であるとき
$$ p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{サ}}{\fbox{シ}^n} $$
であり,そうでないときには
$$ p_n=\frac{\fbox{コ}^{n}+\fbox{ス}}{\fbox{シ}^n} $$
である。また,
$$ \lim_{n\to\infty} p_n=\fbox{セ} $$
が成り立つ。
空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ には,半角数字 0 - 9 または記号 - のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{セ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。分数はこれ以上約分できない形で解答してください。
0
9
-
正方形が2つ、図のように配置されています。赤い線分の長さが20のとき、緑で示した四角形の面積を求めてください。 ただし、図中の青点はそれぞれの正方形の対角線の交点です。
半角数字で解答してください。
三角形の3つの内角の大きさを$A,B,C$とします。このとき、次の式の最小値を求めてください。 $$ \frac{1-\cos A}{\cos B+\cos C}+\frac{1-\cos B}{\cos C+\cos A}+\frac{1-\cos C}{\cos A+\cos B} $$
最小値は$\frac {[ア]}{[イ]}$となります。$[ア]+[イ]$を解答してください。 ただし、$[ア],[イ]$にはそれぞれ自然数が入り、その最大公約数は$1$とします。
正六角形2つが図のように配置されています。赤い線分と青い線分の長さの比が1:4であるとき、緑で示した角Yの角度を求めてください。 ただし、図中"center"で示した点は正六角形の外心です。
0~360までの半角数字で、「°」や「度」をつけずに解答してください。
図中、同じ印のついている辺・角同士は等しいです。 緑の凹四角形の面積が10のとき、青の三角形の面積を求めてください。
緑色の線分の長さは1です。 このとき、円の面積を求めてください。 図中の赤点はそれを含む線分の中点です。
答えは(分数)×πの形になります。 分子を1行目に、分母を2行目に半角数字で入力してください。 ただし、既約分数の形で解答してください。 例: (10/3)π → 1行目に10、2行目に3
半円2つが図のように配置されています。 赤い線分と青い線分は長さの比が1:2です。 このとき、Xの角度を求めてください。
半角数字で入力してください。 「度」や「°」は付けないでください。 例:X=57° → 57
図のように配置された3つの正三角形があります。青い線分の長さを求めてください。 ただし、赤、紫、緑の線分の長さはそれぞれ1,2,3で、隣り合う正三角形の間の角は30°です。
答えは自然数$A,B$を用いて$A\sqrt{B}$の形に表せます。$A+B$を解答してください。 ただし、根号の中はできるだけ小さい自然数にしてください。