定積分
$$ \int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos{x}-x}{1+\sin{x}}dx $$
を計算せよ。
半角数字で答えよ。無理数や記号等を用いる場合はTeX形式で入力せよ。
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$x!+2=y^4+5y$を満たす自然数$(x,y)$の組をすべて求めよ。
以下の文章に入る$a,b,c$の値を入力せよ。1行目に$a$を、2行目に$b$を、3行目に$c$を入力すること。
条件を満たす自然数の組は$a$組存在する。その組の中で、$x$が最大となるような組は$(x,y)=(b,c)$である。
関数 $f(x)=\sqrt[3]{-(x+4)(2x+3)(3x-8)}\ \left(\displaystyle -\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{8}{3}\right)$ の最大値を求めよ。
半角数字またはTeXを入力してください。
実数$ a $ を $a=\sqrt[3]{1+\sqrt2} +\sqrt[3]{1-\sqrt2}$ で定める。以下の問いに答えよ。
⑴ $a^3+3a-2=0$ であることを示せ。また、$0<a<2$ を示せ。
⑵ $x$ について以下の恒等式が成り立つことを示せ。 $$ x^4+4x-3=(x^2+a)^2-2a(x-\frac{1}{a})^2 $$
⑶ 4次方程式 $x^4+4x-3=0$ の実数解を $a$ を用いて表せ。
⑶のみ解答せよ。解は2つ存在し、 $$ x= -\sqrt{\frac{ア}{イ}}\ \pm \ \sqrt{\sqrt{\frac{ウ}{エ}}-\frac{オ}{カ}} $$
の形である。ア~カのそれぞれには1から9までの自然数または文字$a$が入る。 ア~カに当てはまる数字または文字を、順にすべて半角で入力せよ。 たとえばア=2、イ=7、ウ=3、エ=5、オ=8、カ=$a$ と解答する場合は、 「27358a」と入力せよ。
数列 $ \{ a_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、 $$ a_1=2,\ a_2=3,\ a_{n+1} = \max_{1 \leqq k \leqq n} \{ (n-k+1)a_k \}\ (n \geqq 2) $$
で定める。$ \{ a_n \} $ の一般項を求め、さらに $\log_{3}{(a_{6062})}$ の値を求めよ。
$\log_{3}{(a_{6062})}$ はある自然数となるので、その値を半角数字で答えよ。
$n\geq 2$ を自然数とする。$2$ 進数表記で \begin{equation} N=\underbrace{11\cdots 11}_n \underbrace{00\cdots 00} _ {n-1} {} _ {(2)} \end{equation}と表される自然数 $N$ を考える。$n=13$ のとき,$N$ の正の約数の総和を求めなさい。
$2$ 進数で答えなさい。
全長 $L$ mのリムジンが、下図のように直角に曲がったトンネルを、幅 $a(>0)$ mの道から幅 $b(>0)$ mの道へ曲がろうとしている。 このとき、リムジンがトンネルを曲がることのできる最大の全長 $L_{max}$ (m)を求めよ。なお、車の全幅は考えなくて良いものとする。
$a=5,b=6$のときの$L_{max}$の値を関数電卓を用いて計算せよ。答えは、小数第4位の数字を四捨五入したものを解答せよ。
$2(x-y)^2-xy(x^2+2xy+y^2-3)+(2x+2y)^2-(x+y)^2+xy[(x+y)(x-y)+2y(x+y)+5]$
半角で解答のみを記入すること
降べきの順で記入すこと
同じ項の中にx,yが同時にある場合、xを先に記入すること
指数の表記は ^n の形で解答すること
括弧の外にある係数は左側に記入すること
括弧内の項は、文字 数 の順に記入すること
緑色の線分の長さは1です。 このとき、円の面積を求めてください。 図中の赤点はそれを含む線分の中点です。
答えは(分数)×πの形になります。 分子を1行目に、分母を2行目に半角数字で入力してください。 ただし、既約分数の形で解答してください。 例: (10/3)π → 1行目に10、2行目に3
$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。
$$ a^2-4b-1=0\\ b^2-8c+28=0\\ c^2-6a+2=0\\ $$
a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。
△ABCと点Pをとり、△ABP, △BCP, △CAPの重心をそれぞれ$G_1, G_2, G_3$とします。青で示した3つの三角形の面積の和が10のとき、$△G_1G_2G_3$(赤い三角形)の面積を求めてください。
半角数字で解答してください。
実数 $A,B,C \ (-\pi/2<A<B<C<\pi/2)$ が
$$ \frac{1+\tan^3{A}}{1+3\tan^2A}=\frac{1+\tan^3{B}}{1+3\tan^2B}=\frac{1+\tan^3{C}}{1+3\tan^2C}\\ $$
をみたして動くとき、$\tan{(A+B+C)}$ がとりうる値の範囲を求めよ。
解は $ m<\tan{(A+B+C)}< M$ の形で、$m,M$ はどちらも整数である。 $m,M$の値をそれぞれ1,2行目に半角数字で入力せよ。 例えば $m=-33, M=4$ と解答する場合、1行目に「-33」、2行目に「4」と入力せよ。
(20/06/21: よりシンプルな問題文に直しました。答えはそのままです。)
三角形の外側に3つの正方形を図のように作りました。橙・緑・紫の線分の長さを3辺の長さとする三角形(赤い三角形)の面積が57のとき、元の三角形(青い三角形)の面積を求めてください。