整数問題①

問題

定積分

$$
\int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos{x}-x}{1+\sin{x}}dx
$$

を計算せよ。

回答形式

半角数字で答えよ。無理数や記号等を用いる場合はTeX形式で入力せよ。

問題文

$n\geq 2$ を自然数とする。$2$ 進数表記で
\begin{equation}
N=\underbrace{11\cdots 11}_n \underbrace{00\cdots 00} _ {n-1} {} _ {(2)}
\end{equation}と表される自然数 $N$ を考える。$n=13$ のとき，$N$ の正の約数の総和を求めなさい。

解答形式

$2$ 進数で答えなさい。

問題文

$p^2+q^2+r^2+s^2=t^4+1$を満たす素数$(p,q,r,s,t)$の組を全て求めよ。但し$p\leq q\leq r\leq s$とする。

解答形式

一行目に式を満たす組が何組あるか答えよ。また、そのような組の中で、$t$が最大であるものについて、$p,q,r,s,t$の値をそれぞれ2行目、3行目、4行目…へ記入せよ。いずれも数字のみ記入せよ。

(本当は解き方まで見たいですが、個別判定が大変なのでこの形式にします。できれば、なぜそうなるかもしっかり考えてください。)

問題文

$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。

$$
a^2-4b-1=0\\
b^2-8c+28=0\\
c^2-6a+2=0\\
$$

解答形式

a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。

問題文

$x,y$を整数とする。不定方程式$x^7+17y=3$の解$x$をすべて求めよ。

解答形式

答えは、$n$を整数とし、
$x=[ab]n+[cd]$
($a,b,c,d$は一桁の自然数)
という形をしています。$a,b,c,d$の値を求め、$abcd$(4桁の自然数)を入力してください。

問題文

$f_m(x)$という関数列を$f_1(x)=\log{x},f_{m+1}=\log{f_m(x)}$と定義します。ただし$\log{x}$は自然対数です。
具体的には$f_1(x)=\log{x},f_2(x)=\log{\log{x}},f_3(x)=\log{\log{\log{x}}},\ldots$となります。
このとき、
$$\lim_{n\to\infty}\{f_m(3^n)-f_m(2^n)\}=0$$
となるような最小の自然数$m$を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$$
1+(2^1+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)
$$

は、$2$ で最大何回割り切れるか。

解答形式

半角数字のみで答えよ。
たとえば $5555$ 回割り切れると答えるのであれば1行目に
5555
と入力せよ。

問題文

$n$ を整数とする。$x$ の整式

$$
x^4+(3n+2)x^3+(n^2+5)x^2+nx-1
$$

が整数係数の範囲でさらに因数分解できるような $n$ をすべて求めよ。

解答形式

$n$の値を小さい順に1,2,3,......行目にすべて半角で入力せよ。たとえば $n=-123, 45, 678$ と解答する場合、1行目に「-123」、2行目に「45」、3行目に「678」と入力せよ。

問題文

全長 $L$ mのリムジンが、下図のように直角に曲がったトンネルを、幅 $a(>0)$ mの道から幅 $b(>0)$ mの道へ曲がろうとしている。
このとき、リムジンがトンネルを曲がることのできる最大の全長 $L_{max}$ (m)を求めよ。なお、車の全幅は考えなくて良いものとする。

解答形式

$a=5,b=6$のときの$L_{max}$の値を関数電卓を用いて計算せよ。答えは、小数第４位の数字を四捨五入したものを解答せよ。

問題文

$k>0$ を整数の定数とする。以下の条件

$$
{\rm AB}=8, {\rm AC}=k, \angle {\rm ABC}=60^{\circ}
$$

を満たす三角形 ${\rm ABC}$ が存在するような整数 $k$ の最小値は $\fbox{\text{ア}}$ である。

また，条件を満たす三角形 ${\rm ABC}$ が一意的に存在するような整数 $k$ の最小値は $\fbox{イ}$ である。

ただし，互いに合同であるような $2$ つの三角形は区別しない。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{イ}$ には，半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{イ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。

問題文

数列 $ \{ a_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
a_1=2,\ a_2=3,\ a_{n+1} = \max_{1 \leqq k \leqq n} \{ (n-k+1)a_k \}\ (n \geqq 2)
$$

で定める。$ \{ a_n \} $ の一般項を求め、さらに $\log_{3}{(a_{6062})}$ の値を求めよ。

解答形式

$\log_{3}{(a_{6062})}$ はある自然数となるので、その値を半角数字で答えよ。

問題文

実数$ a $ を $a=\sqrt[3]{1+\sqrt2} +\sqrt[3]{1-\sqrt2}$ で定める。以下の問いに答えよ。

⑴ $a^3+3a-2=0$ であることを示せ。また、$0<a<2$ を示せ。

⑵ $x$ について以下の恒等式が成り立つことを示せ。
$$
x^4+4x-3=(x^2+a)^2-2a(x-\frac{1}{a})^2
$$

⑶ 4次方程式 $x^4+4x-3=0$ の実数解を $a$ を用いて表せ。

解答形式

⑶のみ解答せよ。解は2つ存在し、
$$
x= -\sqrt{\frac{ア}{イ}}\ \pm \ \sqrt{\sqrt{\frac{ウ}{エ}}-\frac{オ}{カ}}
$$

の形である。ア～カのそれぞれには1から9までの自然数または文字$a$が入る。
ア～カに当てはまる数字または文字を、順にすべて半角で入力せよ。
たとえばア＝２、イ＝７、ウ＝３、エ＝５、オ＝８、カ＝$a$ と解答する場合は、
「27358a」と入力せよ。