$$ 1+(2^1+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$
は、$2$ で最大何回割り切れるか。
半角数字のみで答えよ。 たとえば $5555$ 回割り切れると答えるのであれば1行目に 5555 と入力せよ。
$(x-1)(x+1)=x^2-1$ が成り立つことを用いよ。
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$k>0$ を整数の定数とする。以下の条件
$$ {\rm AB}=8, {\rm AC}=k, \angle {\rm ABC}=60^{\circ} $$
を満たす三角形 ${\rm ABC}$ が存在するような整数 $k$ の最小値は $\fbox{\text{ア}}$ である。
また,条件を満たす三角形 ${\rm ABC}$ が一意的に存在するような整数 $k$ の最小値は $\fbox{イ}$ である。
ただし,互いに合同であるような $2$ つの三角形は区別しない。
空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{イ}$ には,半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{イ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。
0
9
$x!+2=y^4+5y$を満たす自然数$(x,y)$の組をすべて求めよ。
以下の文章に入る$a,b,c$の値を入力せよ。1行目に$a$を、2行目に$b$を、3行目に$c$を入力すること。
条件を満たす自然数の組は$a$組存在する。その組の中で、$x$が最大となるような組は$(x,y)=(b,c)$である。
$7^{7^7}$ を $777$ で割ったあまりを求めよ。
(注:$7^{7^7}$ は「 $7$ の「 $7$ の $7$ 乗」乗」を表すものとする。)
$0$ 以上 $776$ 以下の整数を、半角数字で1行目に入力せよ。
(1)$\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{4}$ のとき、$\displaystyle \tan2\theta=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}}$ である。
(2)連立方程式
$$ \begin{cases} x_1=x_2(2+x_1x_2) \\ x_2=x_3(2+x_2x_3) \\ x_3=x_4(2+x_3x_4) \\ x_4=x_1(2+x_4x_1) \end{cases} $$
を満たす実数 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の組は全部で $\fbox{エオ}$ 個あり、そのうち $\tan20^\circ < x_1 < \tan80^\circ$ を満たすような組は $\fbox{カ}$ 個ある。
ア〜カには、0から9までの数字が入る。 (1)の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。 (2)の答えとして、文字列「エオカ」を半角で1行目に入力せよ。
以下の文がそれぞれ正しくなるように、空欄に $0$ から $9$ までの数字を埋めよ。ただし、同じ文字の空欄には同じ文字が入る。
(1)数列 $\fbox{ア}, \fbox{イ}, \fbox{ウ}, \fbox{エ},\fbox{オ}$ には、 $0$ が $\fbox{ア}$ 回、$1$ が $\fbox{イ}$ 回、$2$ が $\fbox{ウ}$ 回、$3$ が $\fbox{エ}$ 回、$4$ が $\fbox{オ}$ 回、それぞれ現れる。
(2)数列 $\fbox{カ}, \fbox{キ}, \fbox{ク}, \fbox{ケ}, \fbox{コ}, \fbox{サ}, \fbox{シ}, \fbox{ス}, \fbox{セ}, \fbox{ソ}$ には、 $0$ が $\fbox{カ}$ 回、$1$ が $\fbox{キ}$ 回、$2$ が $\fbox{ク}$ 回、$3$ が $\fbox{ケ}$ 回、$4$ が $\fbox{コ}$ 回、 $5$ が $\fbox{サ}$ 回、$6$ が $\fbox{シ}$ 回、$7$ が $\fbox{ス}$ 回、$8$ が $\fbox{セ}$ 回、$9$ が $\fbox{ソ}$ 回、それぞれ現れる。
ア〜ソには、0から9までの数字が入る。 (1)の答えとして、文字列「アイウエオ」を半角で1行目に入力せよ。 (2)の答えとして、文字列「カキクケコサシスセソ」を半角で2行目に入力せよ。
次の条件(a), (b)をともに満たす自然数($1$ 以上の整数)$\rm{A}$ の最小値を求めよ。
(a) $\rm{A}$ は連続する $3$ つの自然数の和である。
(b) $\rm{A}$ を $10$ 進法で表したとき、$1$ が連続して $9$ 回以上現れるところがある。
半角数字のみで1行目に入力せよ。
$n\geq 2$ を自然数とする。$2$ 進数表記で \begin{equation} N=\underbrace{11\cdots 11}_n \underbrace{00\cdots 00} _ {n-1} {} _ {(2)} \end{equation}と表される自然数 $N$ を考える。$n=13$ のとき,$N$ の正の約数の総和を求めなさい。
$2$ 進数で答えなさい。
$n$ を正の整数とする。$f(n)=\sqrt{n^4+2n+61\ }$ が整数となるような $n$ を $1$ つ選び、そのときの $f(n)$ の値を答えよ。
なお、$f(n)$ が整数とならない場合や、答えた $f(n)$ の値が正しくない場合は不正解とする。
正解した場合は、まず解説を見よ。また、他のユーザーの回答も見てみよ。
あなたが選んだ $n$ における $f(n)$ の値を半角数字で1行目に入力せよ。
$x$ についての2次方程式 $$ 3x^2+(5k-4)x+4k = 0 $$が異なる2つの正の実数解 $\alpha,\beta\;(\alpha<\beta)$ を持ち、$\beta$ の小数部分が $\alpha$ である。このとき、$k$ の値を求めよ。
解答は $$ \frac{N-\sqrt{M}}{L} $$と表わされる($N,M,L$ は自然数)。分数や平方根は最も簡単な形にしてある。解答欄には $N, M, L$ の値をそれぞれ 1, 2, 3 行目に半角数字で入力せよ。
(1) $a,b$ を整数でない正の有理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。
(2) $a$ を整数でない正の有理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。
(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。
(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。
解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。
O
X
図のように配置された3つの正三角形があります。青い線分の長さを求めてください。 ただし、赤、紫、緑の線分の長さはそれぞれ1,2,3で、隣り合う正三角形の間の角は30°です。
答えは自然数$A,B$を用いて$A\sqrt{B}$の形に表せます。$A+B$を解答してください。 ただし、根号の中はできるだけ小さい自然数にしてください。
定積分
$$ \int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos{x}-x}{1+\sin{x}}dx $$
を計算せよ。
半角数字で答えよ。無理数や記号等を用いる場合はTeX形式で入力せよ。