$n$ を正の整数とする。$f(n)=\sqrt{n^4+2n+61\ }$ が整数となるような $n$ を $1$ つ選び、そのときの $f(n)$ の値を答えよ。
なお、$f(n)$ が整数とならない場合や、答えた $f(n)$ の値が正しくない場合は不正解とする。
正解した場合は、まず解説を見よ。また、他のユーザーの回答も見てみよ。
あなたが選んだ $n$ における $f(n)$ の値を半角数字で1行目に入力せよ。
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次の条件(a), (b)をともに満たす自然数($1$ 以上の整数)$\rm{A}$ の最小値を求めよ。
(a) $\rm{A}$ は連続する $3$ つの自然数の和である。
(b) $\rm{A}$ を $10$ 進法で表したとき、$1$ が連続して $9$ 回以上現れるところがある。
半角数字のみで1行目に入力せよ。
(1)$\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{4}$ のとき、$\displaystyle \tan2\theta=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}}$ である。
(2)連立方程式
$$ \begin{cases} x_1=x_2(2+x_1x_2) \\ x_2=x_3(2+x_2x_3) \\ x_3=x_4(2+x_3x_4) \\ x_4=x_1(2+x_4x_1) \end{cases} $$
を満たす実数 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の組は全部で $\fbox{エオ}$ 個あり、そのうち $\tan20^\circ < x_1 < \tan80^\circ$ を満たすような組は $\fbox{カ}$ 個ある。
ア〜カには、0から9までの数字が入る。 (1)の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。 (2)の答えとして、文字列「エオカ」を半角で2行目に入力せよ。
以下の文がそれぞれ正しくなるように、空欄に $0$ から $9$ までの数字を埋めよ。ただし、同じ文字の空欄には同じ文字が入る。
(1)数列 $\fbox{ア}, \fbox{イ}, \fbox{ウ}, \fbox{エ},\fbox{オ}$ には、 $0$ が $\fbox{ア}$ 回、$1$ が $\fbox{イ}$ 回、$2$ が $\fbox{ウ}$ 回、$3$ が $\fbox{エ}$ 回、$4$ が $\fbox{オ}$ 回、それぞれ現れる。
(2)数列 $\fbox{カ}, \fbox{キ}, \fbox{ク}, \fbox{ケ}, \fbox{コ}, \fbox{サ}, \fbox{シ}, \fbox{ス}, \fbox{セ}, \fbox{ソ}$ には、 $0$ が $\fbox{カ}$ 回、$1$ が $\fbox{キ}$ 回、$2$ が $\fbox{ク}$ 回、$3$ が $\fbox{ケ}$ 回、$4$ が $\fbox{コ}$ 回、 $5$ が $\fbox{サ}$ 回、$6$ が $\fbox{シ}$ 回、$7$ が $\fbox{ス}$ 回、$8$ が $\fbox{セ}$ 回、$9$ が $\fbox{ソ}$ 回、それぞれ現れる。
ア〜ソには、0から9までの数字が入る。 (1)の答えとして、文字列「アイウエオ」を半角で1行目に入力せよ。 (2)の答えとして、文字列「カキクケコサシスセソ」を半角で2行目に入力せよ。
$$ 1+(2^1+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$
は、$2$ で最大何回割り切れるか。
半角数字のみで答えよ。 たとえば $5555$ 回割り切れると答えるのであれば1行目に 5555 と入力せよ。
$7^{7^7}$ を $777$ で割ったあまりを求めよ。
(注:$7^{7^7}$ は「 $7$ の「 $7$ の $7$ 乗」乗」を表すものとする。)
$0$ 以上 $776$ 以下の整数を、半角数字で1行目に入力せよ。
$x^4+4$ を因数分解せよ。また、この結果を用いて $50629$ を素因数分解せよ。
50629の素因数を小さい順に1,2,3......行目に半角数字で入力せよ。
$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分
$$ \int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx $$
を計算せよ。
piまたは 355/113 で解答してください。
pi
355/113
関数 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して
$$ f(x)=2f(-x)+\frac{3x}{x^2+1} $$
をみたす。このとき、$f(x)$ の最大値を求めよ。
求める最大値は $\frac{p}{q}$ ($p,q$は自然数) と書ける。$p,q$ の値をそれぞれ1,2行目に半角数字で入力せよ。なお、できるだけ約分した形で答えよ。
$\dfrac{n^2+2020}{2n}$が自然数となるような自然数$n$の総和を求めよ。
解答を半角数字で入力してください。
$N$ を正の整数として、以下の条件をすべて満たす数列 $\{a_n \}$ $(n=1,2,...)$ を考える。
・$a_1=1$ ・$a_N=2020$ ・すべての正の整数 $n$ について $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{4a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}- \frac{2}{a_{n+1}}+4$ が成り立つ。
このとき、$N=\fbox{アイ}$ である。また $a_7=\fbox{ウエオ}$ である。
ア〜オには、0から9までの数字が入る。 $N=\fbox{アイ}$ の答えとして、文字列「アイ」をすべて半角で1行目に入力せよ。 $a_7=\fbox{ウエオ}$ の答えとして、文字列「ウエオ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
正の実数に対して定義され正の実数値をとる関数 $f$ が、任意の正の実数 $x,y$ に対して
$$ f\left(\frac{x+y+1}{xy}\right)=\frac{f(x)f(y)}{x+y+1} $$
を満たすとき
$$ f\left(\frac{11}{21}\right) = \frac{\fbox{アイウエ}}{\fbox{オカキ}} $$
である。
ア〜キには、0から9までの数字が入る。 文字列「アイウエオカキ」を半角で1行目に入力せよ。 ただし、それ以上約分できない形で答えよ。
$1\thicksim6$までの数字を$1$回ずつ使って空欄を埋め以下の等式を成立させてください。解が存在しない場合はその旨を答えてください。
$(1)\square\square\times\square=\square\square\square$ $(2)\square\square+\square\square=\square\square$
1行目に$(1)$、2行目に$(2)$の解を入力してください。 等式をすべて半角で入力してください。ただし、「$\times$」はx(小文字のエックス)で代用するものとします。 存在しない場合は-1を入力してください。 また、解が複数存在する場合はどれを回答してもかまいません。
x
-1
(例) $3\times7=21$と入力する場合 3x7=21 $3+7=21$と入力する場合 3+7=10
3x7=21
3+7=10