$x^4+4$ を因数分解せよ。また、この結果を用いて $50629$ を素因数分解せよ。
50629の素因数を小さい順に1,2,3......行目に半角数字で入力せよ。
$x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2$ と変形せよ。
$50629=50625+4=n^4+4$ をみたす $n$ がないか探してみよ。
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$\dfrac{n^2+2020}{2n}$が自然数となるような自然数$n$の総和を求めよ。
解答を半角数字で入力してください。
$n$ を整数とする。$x$ の整式
$$ x^4+(3n+2)x^3+(n^2+5)x^2+nx-1 $$
が整数係数の範囲でさらに因数分解できるような $n$ をすべて求めよ。
$n$の値を小さい順に1,2,3,......行目にすべて半角で入力せよ。たとえば $n=-123, 45, 678$ と解答する場合、1行目に「-123」、2行目に「45」、3行目に「678」と入力せよ。
$1\thicksim6$までの数字を$1$回ずつ使って空欄を埋め以下の等式を成立させてください。解が存在しない場合はその旨を答えてください。
$(1)\square\square\times\square=\square\square\square$ $(2)\square\square+\square\square=\square\square$
1行目に$(1)$、2行目に$(2)$の解を入力してください。 等式をすべて半角で入力してください。ただし、「$\times$」はx(小文字のエックス)で代用するものとします。 存在しない場合は-1を入力してください。 また、解が複数存在する場合はどれを回答してもかまいません。
x
-1
(例) $3\times7=21$と入力する場合 3x7=21 $3+7=21$と入力する場合 3+7=10
3x7=21
3+7=10
関数 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して
$$ f(x)=2f(-x)+\frac{3x}{x^2+1} $$
をみたす。このとき、$f(x)$ の最大値を求めよ。
求める最大値は $\frac{p}{q}$ ($p,q$は自然数) と書ける。$p,q$ の値をそれぞれ1,2行目に半角数字で入力せよ。なお、できるだけ約分した形で答えよ。
図のように配置された3つの正三角形があります。青い線分の長さを求めてください。 ただし、赤、紫、緑の線分の長さはそれぞれ1,2,3で、隣り合う正三角形の間の角は30°です。
答えは自然数$A,B$を用いて$A\sqrt{B}$の形に表せます。$A+B$を解答してください。 ただし、根号の中はできるだけ小さい自然数にしてください。
$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。
$$ a^2-4b-1=0\\ b^2-8c+28=0\\ c^2-6a+2=0\\ $$
a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。
$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分
$$ \int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx $$
を計算せよ。
piまたは 355/113 で解答してください。
pi
355/113
緑色の線分の長さは1です。 このとき、円の面積を求めてください。 図中の赤点はそれを含む線分の中点です。
答えは(分数)×πの形になります。 分子を1行目に、分母を2行目に半角数字で入力してください。 ただし、既約分数の形で解答してください。 例: (10/3)π → 1行目に10、2行目に3
定積分
$$ \int_0^1 (\sqrt[7]{1-x^{11}}-\sqrt[11]{1-x^{7}})dx $$
を求めよ。
値は半角数字で記述せよ。無理数などを用いたい場合は必要ならばTeX記法により記述せよ。
非負整数$n$に対し関数$f$を次のように定める。
$$f(n) = \frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}$$
$1$から$2020$までの整数について$f(n)$が整数となるような$n$の個数を求めよ。
半角数字で入力せよ。
全長 $L$ mのリムジンが、下図のように直角に曲がったトンネルを、幅 $a(>0)$ mの道から幅 $b(>0)$ mの道へ曲がろうとしている。 このとき、リムジンがトンネルを曲がることのできる最大の全長 $L_{max}$ (m)を求めよ。なお、車の全幅は考えなくて良いものとする。
$a=5,b=6$のときの$L_{max}$の値を関数電卓を用いて計算せよ。答えは、小数第4位の数字を四捨五入したものを解答せよ。
青い三角形の面積が6のとき、外側の正方形の面積を求めてください。 なお、正方形と円は図中の赤で示した点で接します。
正方形の面積を半角数字で入力してください。