$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分
$$ \int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx $$
を計算せよ。
piまたは 355/113 で解答してください。
pi
355/113
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定積分
$$ \int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos{x}-x}{1+\sin{x}}dx $$
半角数字で答えよ。無理数や記号等を用いる場合はTeX形式で入力せよ。
$\dfrac{n^2+2020}{2n}$が自然数となるような自然数$n$の総和を求めよ。
解答を半角数字で入力してください。
$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。
$$ a^2-4b-1=0\\ b^2-8c+28=0\\ c^2-6a+2=0\\ $$
a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。
関数 $f(x)=\sqrt[3]{-(x+4)(2x+3)(3x-8)}\ \left(\displaystyle -\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{8}{3}\right)$ の最大値を求めよ。
半角数字またはTeXを入力してください。
$x^4+4$ を因数分解せよ。また、この結果を用いて $50629$ を素因数分解せよ。
50629の素因数を小さい順に1,2,3......行目に半角数字で入力せよ。
全長 $L$ mのリムジンが、下図のように直角に曲がったトンネルを、幅 $a(>0)$ mの道から幅 $b(>0)$ mの道へ曲がろうとしている。 このとき、リムジンがトンネルを曲がることのできる最大の全長 $L_{max}$ (m)を求めよ。なお、車の全幅は考えなくて良いものとする。
$a=5,b=6$のときの$L_{max}$の値を関数電卓を用いて計算せよ。答えは、小数第4位の数字を四捨五入したものを解答せよ。
$k>0$ を整数の定数とする。以下の条件
$$ {\rm AB}=8, {\rm AC}=k, \angle {\rm ABC}=60^{\circ} $$
を満たす三角形 ${\rm ABC}$ が存在するような整数 $k$ の最小値は $\fbox{\text{ア}}$ である。
また,条件を満たす三角形 ${\rm ABC}$ が一意的に存在するような整数 $k$ の最小値は $\fbox{イ}$ である。
ただし,互いに合同であるような $2$ つの三角形は区別しない。
空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{イ}$ には,半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{イ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。
0
9
実数$ a $ を $a=\sqrt[3]{1+\sqrt2} +\sqrt[3]{1-\sqrt2}$ で定める。以下の問いに答えよ。
⑴ $a^3+3a-2=0$ であることを示せ。また、$0<a<2$ を示せ。
⑵ $x$ について以下の恒等式が成り立つことを示せ。 $$ x^4+4x-3=(x^2+a)^2-2a(x-\frac{1}{a})^2 $$
⑶ 4次方程式 $x^4+4x-3=0$ の実数解を $a$ を用いて表せ。
⑶のみ解答せよ。解は2つ存在し、 $$ x= -\sqrt{\frac{ア}{イ}}\ \pm \ \sqrt{\sqrt{\frac{ウ}{エ}}-\frac{オ}{カ}} $$
の形である。ア~カのそれぞれには1から9までの自然数または文字$a$が入る。 ア~カに当てはまる数字または文字を、順にすべて半角で入力せよ。 たとえばア=2、イ=7、ウ=3、エ=5、オ=8、カ=$a$ と解答する場合は、 「27358a」と入力せよ。
$x!+2=y^4+5y$を満たす自然数$(x,y)$の組をすべて求めよ。
以下の文章に入る$a,b,c$の値を入力せよ。1行目に$a$を、2行目に$b$を、3行目に$c$を入力すること。
条件を満たす自然数の組は$a$組存在する。その組の中で、$x$が最大となるような組は$(x,y)=(b,c)$である。
$x$ についての2次方程式 $$ 3x^2+(5k-4)x+4k = 0 $$が異なる2つの正の実数解 $\alpha,\beta\;(\alpha<\beta)$ を持ち、$\beta$ の小数部分が $\alpha$ である。このとき、$k$ の値を求めよ。
解答は $$ \frac{N-\sqrt{M}}{L} $$と表わされる($N,M,L$ は自然数)。分数や平方根は最も簡単な形にしてある。解答欄には $N, M, L$ の値をそれぞれ 1, 2, 3 行目に半角数字で入力せよ。
$$ \int_0^1 (\sqrt[7]{1-x^{11}}-\sqrt[11]{1-x^{7}})dx $$
を求めよ。
値は半角数字で記述せよ。無理数などを用いたい場合は必要ならばTeX記法により記述せよ。
図のように配置された3つの正三角形があります。青い線分の長さを求めてください。 ただし、赤、紫、緑の線分の長さはそれぞれ1,2,3で、隣り合う正三角形の間の角は30°です。
答えは自然数$A,B$を用いて$A\sqrt{B}$の形に表せます。$A+B$を解答してください。 ただし、根号の中はできるだけ小さい自然数にしてください。