数学の問題一覧

問題文

座標平面上の $|x|≦1$ かつ $|y|≦1$ を満たす領域を $D$ とする。また傾き $1$ の直線を $l$, $y=x^2$ のグラフを平行移動したグラフ $C$ の頂点を $P$ とする。$l$ を $D$ と共有点を持つように, $C$ を $P$ が $D$ 内に存在するように無作為にとるとき, $l$ と $C$ が交わる確率を求めよ。

解答形式

少数第4位を四捨五入して, 少数第3位までを,半角数字で解答してください。

問題文

$nを2以上の整数とする。n!を,n^3-nで割った余りと,n^nで割った余りが等しくなるnを全て求めよ。$

解答形式

$半角数字でnの値が小さい順に一行ずつ解答してください。$
$(例)n=2,3,4となったとき$
2
3
4

問題文

級数
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}-\frac{1}{14}-\frac{1}{15}-\frac{1}{16}+\cdots$$
の収束値を求めよ. ただし, この級数の第 $n$ 項の絶対値は $\dfrac{1}{n}$ であり, 各項の符号は $4$ 項ごとに交代する.

解答形式

収束値は $\fbox{A}\text{ - }\fbox{F}$ をいずれも自然数として最も簡単な形で $\displaystyle{\frac{\fbox{A}+\fbox{B}\sqrt{\fbox{C}}}{\fbox{D}}\pi+\frac{\log{\fbox{E}}}{\fbox{F}}}$
と 表されます. 文字列 $\fbox{A}\,\fbox{B}\,\fbox{C}\,\fbox{D}\,\fbox{E}\,\fbox{F}$ を解答してください.

問題文

定積分 $\displaystyle\int_0^1\sqrt[dx]{dx^{dx}+dx^{dx+1}}$ を計算せよ.

解答形式

• スペースを含めず, ASCII文字のみを用いて $\mathrm{\LaTeX}$ 形式で解答してください.
• 原則として解答は十進数とします.
• 解答に整数でない数が含まれる場合, 十進小数展開した形で解答しないでください.
• 特に指定がない限り式はすべて展開し, 分母は可能な限り有理化して, 括弧を用いないもっとも簡単な形で解答してください.
• 同じ値を表す記号（$\arctan{\dfrac{4}{3}}=\arccos{\dfrac{3}{5}}=\arcsin{\dfrac{4}{5}}$ など）は, いずれを用いても構いません.
• $\log$ などの関数を含んだ形で解答する場合は, $\log{x}$ (\log{x}) のように {} で引数を明示してください.
• 上付き, 下付き, 分数などを用いる場合は,
  {} の省略は行わないでください。
• \dfrac, \tfrac などはすべて \frac に統一し, \rm, \mathrm, \mathbb などの文字装飾の記号は原則として用いないでください.
• csc (cosec), sec, cot やその逆関数（arc-）は, 原則として用いないでください.
• 逆三角関数は全て arc- の記法で解答してください.
• 文字や根号などの係数が分数のときは, それらを分子にまとめてください.
  例）$\dfrac{2}{3}x$ (\frac{2}{3}x) $\rightarrow$ $\dfrac{2x}{3}$ (\frac{2x}{3})
• 式がより簡単になる場合を除き, 式を通分して分母をまとめることは認められません. それぞれの項に分けた状態で解答してください.
  例）$\dfrac{8x+9y}{12}$ (\frac{8x+9y}{12}) $\rightarrow$ $\dfrac{2x}{3}+\dfrac{3y}{4}$ (\frac{2x}{3}+\frac{3y}{4})

問題文

定積分 $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x\cos{x}\sin{dx}$ を計算せよ.

解答形式

• スペースを含めず, ASCII文字のみを用いて $\mathrm{\LaTeX}$ 形式で解答してください.
• 原則として解答は十進数とします.
• 解答に整数でない数が含まれる場合, 十進小数展開した形で解答しないでください.
• 特に指定がない限り式はすべて展開し, 分母は可能な限り有理化して, 括弧を用いないもっとも簡単な形で解答してください.
• 同じ値を表す記号（$\arctan{\dfrac{4}{3}}=\arccos{\dfrac{3}{5}}=\arcsin{\dfrac{4}{5}}$ など）は, いずれを用いても構いません.
• $\log$ などの関数を含んだ形で解答する場合は, $\log{x}$ (\log{x}) のように {} で引数を明示してください.
• 上付き, 下付き, 分数などを用いる場合は, {} の省略は行わないでください。
• \dfrac, \tfrac などはすべて \frac に統一し, \rm, \mathrm, \mathbb などの文字装飾の記号は原則として用いないでください.
• csc (cosec), sec, cot やその逆関数（arc-）は, 原則として用いないでください.
• 逆三角関数は全て arc- の記法で解答してください.
• 文字や根号などの係数が分数のときは, それらを分子にまとめてください.
  例）$\dfrac{2}{3}x$ (\frac{2}{3}x) $\rightarrow$ $\dfrac{2x}{3}$ (\frac{2x}{3})
• 式がより簡単になる場合を除き, 式を通分して分母をまとめることは認められません. それぞれの項に分けた状態で解答してください.
  例）$\dfrac{8x+9y}{12}$ (\frac{8x+9y}{12}) $\rightarrow$ $\dfrac{2x}{3}+\dfrac{3y}{4}$ (\frac{2x}{3}+\frac{3y}{4})

問題文

$2^{p}+7^{q}=r^{p+q-r}$を満たす素数の組$(p,q,r)$をすべて求めよ．

解答形式

文字列$pqr$を，半角数字で解答してください．解が複数ある場合は，
(1)　$p$の値が小さい順
(2)　$p$の値が等しい組は，$q$の値が小さい順
(3)　$p,q$の値がともに等しい組は，$r$の値が小さい順
に，1行に1つずつ書いてください．

追記

どなたか素数に限らない整数解を全て求めてくださるとありがたいです．

${}$　西暦2023年問題第7弾、今年最後の西暦問題です。ラストを飾るのは循環小数です。循環小数というテーマ自体が奥深いわけですが、その一端を味わえるようにしました。どうぞ最後までお付き合いください。

お知らせ

${}$　いつもの図形問題ですが、明日1月8日(日)は出題をお休みして、翌週1月15日(日)から再開する予定です。お待たせしていますが、またどうぞよろしくお願いします。

解答形式

${}$　解答は、$N$の値をそのまま入力してください。「$N=$」の記載は不要です。
（例） $N=107$ → $\color{blue}{107}$

問題文

図の条件の下で，線分 $AB$ の長さを求めてください．
※orthocenter：垂心，circumcenter：外心

解答形式

$AB^2$ の値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

以下の多重根号を簡略化せよ。

2022/12/09 訂正:

難易度やnaoperc様よりご指摘いただいた根号の指数の誤りなど複数箇所を訂正しました.

2023/02/11 訂正:

問題文, 解答形式の文章を他の問題と統一しました. 解答に影響はありません.

解答形式

• スペースを含めず, ASCII文字のみを用いて $\mathrm{\LaTeX}$ 形式で解答してください.
• 原則として解答は十進数とします.
• 解答に整数でない数が含まれる場合, 十進小数展開した形で解答しないでください.
• 特に指定がない限り式はすべて展開し, 分母は可能な限り有理化して, 括弧を用いないもっとも簡単な形で解答してください.
• 同じ値を表す記号（$\arctan{\dfrac{4}{3}}=\arccos{\dfrac{3}{5}}=\arcsin{\dfrac{4}{5}}$ など）は, いずれを用いても構いません.
• $\log$ などの関数を含んだ形で解答する場合は, $\log{x}$ (\log{x}) のように {} で引数を明示してください.
• 上付き, 下付き, 分数などを用いる場合は,
  {} の省略は行わないでください。
• \dfrac, \tfrac などはすべて \frac に統一し, \rm, \mathrm, \mathbb などの文字装飾の記号は原則として用いないでください.
• csc (cosec), sec, cot やその逆関数（arc-）は, 原則として用いないでください.
• 逆三角関数は全て arc- の記法で解答してください.
• 文字や根号などの係数が分数のときは, それらを分子にまとめてください.
  例）$\dfrac{2}{3}x$ (\frac{2}{3}x) $\rightarrow$ $\dfrac{2x}{3}$ (\frac{2x}{3})
• 式がより簡単になる場合を除き, 式を通分して分母をまとめることは認められません. それぞれの項に分けた状態で解答してください.
  例）$\dfrac{8x+9y}{12}$ (\frac{8x+9y}{12}) $\rightarrow$ $\dfrac{2x}{3}+\dfrac{3y}{4}$ (\frac{2x}{3}+\frac{3y}{4})

問題文

次の計算をせよ．

$$
\sum_{k=1}^{2023}\sec\dfrac{6k-5}{6069}\pi\quad
$$

ただし，$\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$とする．

解答形式

解答は整数となります．そのまま半角で入力してください．

問題文

$\dfrac{1}{\cos\dfrac{\pi}{9}}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{5}{9}\pi}+\dfrac{1}{\cos\dfrac{7}{9}\pi}=-\dfrac{a}{b}$ ( $a,b$ は互いに素な自然数)である．

$a+b$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください。

簡単です．教科書にもありそうなつまらない問題ですが，一応2通りの解法を用意しているので，考えていただけたら幸いです．

問題文

$2^{p+q}-p^{q}=13$を満たす素数$\left(p,q\right)$をすべて求めよ．

解答形式

$p^{2}+q^{2}$の値を，半角数字で解答してください．答えが複数ある場合は，値の小さい順に，1行に1つずつ書いてください．

（例）
解答が$\left(p,q\right)=\left(2,7\right),\left(5,11\right)$のときは，以下のように解答します．

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