問題文
以下の問いに答えよ．（自然数$n$について，$n!$ は，$1$ から $n$ までの自然数をすべてかけた値を表す．ただし$0!=1$とする．）
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$r^m=\frac{r^m-r^{m+1}}{1-r}$ という式変形を用いて，$s<t$ を満たす自然数組 $(s,t)$ と， $r<1$ を満たす実数 $r$ について，$$r^s+r^{s+1}+\cdots+r^t=\frac{r^s-r^{t+1}}{1-r}$$ となることを示せ．
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自然数組 $(a,i)$ について $a^i < i!$ が成立するなら，$i$ 以上の任意の自然数 $j$ で $$a^j < j!$$ となることを示せ．
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自然数組 $(a,i,k,n)$ について，$f(k)=k!-a^k$ ，$g(k)=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{k!}$ とする．
$i<n$ ，$f(i)> 0$ を満たすとき，$$g(n)< g(i-1)+\frac{1}{a^i-a^{i-1}}-\frac{1}{a-1}\left( \frac{1}{a} \right)^n$$となることを示せ．
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$n>4$ を満たす自然数 $n$ について，$$g(n)<\frac{67}{24}$$ となることを示せ．
解答形式
私に伝わる程度でよいので、軽めに記述してください。
ヒントの内容
- 「3.」のヒント
- 「4.」のヒント
