$\dfrac{n^2+2020}{2n}$が自然数となるような自然数$n$の総和を求めよ。
解答を半角数字で入力してください。
偶奇で場合分け
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$x^4+4$ を因数分解せよ。また、この結果を用いて $50629$ を素因数分解せよ。
50629の素因数を小さい順に1,2,3......行目に半角数字で入力せよ。
$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分
$$ \int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx $$
を計算せよ。
piまたは 355/113 で解答してください。
pi
355/113
$n$ を整数とする。$x$ の整式
$$ x^4+(3n+2)x^3+(n^2+5)x^2+nx-1 $$
が整数係数の範囲でさらに因数分解できるような $n$ をすべて求めよ。
$n$の値を小さい順に1,2,3,......行目にすべて半角で入力せよ。たとえば $n=-123, 45, 678$ と解答する場合、1行目に「-123」、2行目に「45」、3行目に「678」と入力せよ。
$$ 1+(2^1+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1) $$
は、$2$ で最大何回割り切れるか。
半角数字のみで答えよ。 たとえば $5555$ 回割り切れると答えるのであれば1行目に 5555 と入力せよ。
$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。
$$ a^2-4b-1=0\\ b^2-8c+28=0\\ c^2-6a+2=0\\ $$
a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。
関数 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して
$$ f(x)=2f(-x)+\frac{3x}{x^2+1} $$
をみたす。このとき、$f(x)$ の最大値を求めよ。
求める最大値は $\frac{p}{q}$ ($p,q$は自然数) と書ける。$p,q$ の値をそれぞれ1,2行目に半角数字で入力せよ。なお、できるだけ約分した形で答えよ。
原点$O$とする$xy$平面上で点$(3,2)$を通る傾き負の直線と$x$軸,$y$軸との交点をそれぞれ$A,B$とするとき、$\triangle OAB$の面積の最小値を求めよ。
整数または既約分数で答えてください。 半角で入力してください。
図のように配置された3つの正三角形があります。青い線分の長さを求めてください。 ただし、赤、紫、緑の線分の長さはそれぞれ1,2,3で、隣り合う正三角形の間の角は30°です。
答えは自然数$A,B$を用いて$A\sqrt{B}$の形に表せます。$A+B$を解答してください。 ただし、根号の中はできるだけ小さい自然数にしてください。
$N$ を正の整数として、以下の条件をすべて満たす数列 $\{a_n \}$ $(n=1,2,...)$ を考える。
・$a_1=1$ ・$a_N=2020$ ・すべての正の整数 $n$ について $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{4a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}- \frac{2}{a_{n+1}}+4$ が成り立つ。
このとき、$N=\fbox{アイ}$ である。また $a_7=\fbox{ウエオ}$ である。
ア〜オには、0から9までの数字が入る。 $N=\fbox{アイ}$ の答えとして、文字列「アイ」をすべて半角で1行目に入力せよ。 $a_7=\fbox{ウエオ}$ の答えとして、文字列「ウエオ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
$n$ を正の整数とする。$f(n)=\sqrt{n^4+2n+61\ }$ が整数となるような $n$ を $1$ つ選び、そのときの $f(n)$ の値を答えよ。
なお、$f(n)$ が整数とならない場合や、答えた $f(n)$ の値が正しくない場合は不正解とする。
正解した場合は、まず解説を見よ。また、他のユーザーの回答も見てみよ。
あなたが選んだ $n$ における $f(n)$ の値を半角数字で1行目に入力せよ。
$x!+2=y^4+5y$を満たす自然数$(x,y)$の組をすべて求めよ。
以下の文章に入る$a,b,c$の値を入力せよ。1行目に$a$を、2行目に$b$を、3行目に$c$を入力すること。
条件を満たす自然数の組は$a$組存在する。その組の中で、$x$が最大となるような組は$(x,y)=(b,c)$である。
(1)$\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{4}$ のとき、$\displaystyle \tan2\theta=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}}$ である。
(2)連立方程式
$$ \begin{cases} x_1=x_2(2+x_1x_2) \\ x_2=x_3(2+x_2x_3) \\ x_3=x_4(2+x_3x_4) \\ x_4=x_1(2+x_4x_1) \end{cases} $$
を満たす実数 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の組は全部で $\fbox{エオ}$ 個あり、そのうち $\tan20^\circ < x_1 < \tan80^\circ$ を満たすような組は $\fbox{カ}$ 個ある。
ア〜カには、0から9までの数字が入る。 (1)の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。 (2)の答えとして、文字列「エオカ」を半角で2行目に入力せよ。