[A] Natural Number

okapin 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年9月12日18:00 正解数: 13 / 解答数: 22 (正答率: 59.1%) ギブアップ数: 0
この問題はコンテスト「Okapin Mathematical Contest」の問題です。

問題文

$\dfrac{n^2+2020}{2n}$が自然数となるような自然数$n$の総和を求めよ。

解答形式

解答を半角数字で入力してください。


ヒント1

偶奇で場合分け


解答提出

この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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問題文

次のようなネットワークを考える.
・情報として「0」または「1」の状態を各ノードは保持することができる.
・各ノードは他のノードに対して一方的に情報を伝達する.
・情報の伝達の際には,ある確率pで正しく状態を伝達するが,1-pの確率で状態が反転して伝達される.ここで,このpは枝によって値が異なることに注意する.
・2つのノードから情報が伝達される場合には,両方の情報を受け取った上で,保持する状態を決定する.このとき,2本のノードから受け取った情報が一致する場合には一致した状態を保持し,異なる情報を受け取った場合には1/2の確率で「0」を保持することにする(1/2の確率で「1」を保持することにする).
以下の図のネットワークにおいて始点の情報を終点まで伝達することを考え,始点と終点の状態が一致する確率xを求める.
ただし,矢印(枝)はノード間の情報伝達の方向を表し,枝の上に書かれている文字は正しく伝達される確率(上の説明のp)を表すものとする.

① a=2/3,b=3/4の場合のxを計算せよ.
② a=11/111,b=1/2の場合のxを計算せよ.
③ a=2/3,b=3/4の場合を考える.このネットワークはxy平面上の$3\times3$のサイズの格子点において,x軸正方向とy軸正方向に正しく情報が伝達される確率をそれぞれa,b,始点を原点,終点を点(2,2)としたものとみなせる.このとき,$n\times n$のサイズに拡張された(終点を(n,n)とする)ネットワークを考えると,$n\to \infty$とした時に,始点と終点の状態が一致する確率の収束値を求めよ.

解答形式

「分子/分母」(半角英数字)として既約分数を表せ.例)11/92
1行目に①,2行目に②,3行目に③を解答すること.

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$\sqrt[10] {10}$ の小数第一位の値を求めよ。
ただし, $\log_{10}{2}=0.3010$ とする。

解答形式

答えを半角数字で入力してください。

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中心$O$, 直径$AB$とする円の$A,B$以外の円周上の点$C$を取り, $\angle BAC=\theta \ (0^\circ<\theta <90^\circ)$ とする。
このとき, 線分$OD$が線分$AC$によって二等分されるような点$D$が円周上に取れるような$\theta$の取りうる範囲を求めよ。

解答形式

求める$\theta$の範囲は$a^\circ<\theta\leq b^\circ$となります。1行目に$a$, 2行目に$b$を半角数字で入力してください。

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$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分

$$
\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx
$$

を計算せよ。

解答形式

piまたは 355/113 で解答してください。

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$x^4+4$ を因数分解せよ。また、この結果を用いて$50629$を素因数分解せよ。

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(1) $a,b$ を整数でない正の有理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(2) $a$ を整数でない正の有理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

解答方法

解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。

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直径10の半円中に、直径の和が10となる2つの半円を図のように配置します。点Aを大半円の弧上にとり、線分AB,ACと小半円の交点をD,Eとします。
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解答形式

半角数字で解答してください。

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定積分

$$
\int_0^1 (\sqrt[7]{1-x^{11}}-\sqrt[11]{1-x^{7}})dx
$$

を求めよ。

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値は半角数字で記述せよ。無理数などを用いたい場合は必要ならばTeX記法により記述せよ。

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$n$を整数とする。$x$の整式

$$
x^4+(3n+2)x^3+(n^2+5)x^2+nx-1
$$

が整数係数の範囲でさらに因数分解できるような$n$をすべて求めよ。

解答形式

$n$の値を小さい順に1,2,3,......行目にすべて半角で入力せよ。たとえば $n=-123, 45, 678$ と解答する場合、1行目に「-123」、2行目に「45」、3行目に「678」と入力せよ。

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$1\thicksim6$までの数字を$1$回ずつ使って空欄を埋め以下の等式を成立させてください。解が存在しない場合はその旨を答えてください。

$(1)\square\square\times\square=\square\square\square$
$(2)\square\square+\square\square=\square\square$

解答形式

1行目に$(1)$、2行目に$(2)$の解を入力してください。
等式をすべて半角で入力してください。ただし、「$\times$」はx(小文字のエックス)で代用するものとします。
存在しない場合は-1を入力してください。
また、解が複数存在する場合はどれを回答してもかまいません。

(例)
$3\times7=21$と入力する場合 3x7=21
$3+7=21$と入力する場合 3+7=10

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緑色の線分の長さは1です。
このとき、円の面積を求めてください。
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解答形式

答えは(分数)×πの形になります。
分子を1行目に、分母を2行目に半角数字で入力してください。
ただし、既約分数の形で解答してください。
例: (10/3)π → 1行目に10、2行目に3

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問題

自然数の組に対する二項演算 $\small \bigcirc$ および $ \triangle$ は以下の条件を満たすとする。

$$
\newcommand{\o}{\ \small\bigcirc \ \normalsize }
\newcommand{\tr}{\ \triangle \ }
a\tr b=\underbrace{(a\o (a\o (\cdots \o(a\o a))))}_{a\ が\ b\ 個}
$$

二項演算 $\tr$ が可換性

$$
a\tr b=b\tr a
$$

を満たすとき、次の問に答えよ

(1)  $1\o 1=2$ を示せ。

(2)  演算$\o$が結合法則

$$
a\o(b\o c)=(a\o b)\o c
$$

を満たすとき $2020\tr 2019$ の値を求めよ。

解答形式

(2)の値を半角数字で記述せよ。