[B] キメラ漸化式

問題文

$f(x)=-16x^3+24x^2-9x+1$ とおく。以下の問いに答えよ。

⑴ 以下の式が $\theta$ の恒等式になるように空欄を埋めよ。なお、同じ文字の空欄には同じ数が入る。

$$
f\left( \frac{\fbox{ア}+\sin\theta}{\fbox{イ}}\right)=\frac{\fbox{ア}+\sin(\fbox{ウ}\theta)}{\fbox{イ}}
$$

⑵ 次の定積分を求めよ。
$$
\int_ {0.5} ^{0.75} f(f(f(x))) dx = \frac{\fbox{エオカ}}{\fbox{キクケコ}}
$$

解答形式

ア〜コには、0から9までの数字が入る。
⑴の答えとして、文字列「アイウ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
⑵の答えとして、文字列「エオカキクケコ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で答えよ。

問題文

$7^{7^7}$ を $777$ で割ったあまりを求めよ。

（注：$7^{7^7}$ は「 $7$ の「 $7$ の $7$ 乗」乗」を表すものとする。）

解答形式

$0$ 以上 $776$ 以下の整数を、半角数字で1行目に入力せよ。

問題文

次の条件(a), (b)をともに満たす自然数（$1$ 以上の整数）$\rm{A}$ の最小値を求めよ。

(a) $\rm{A}$ は連続する $3$ つの自然数の和である。

(b) $\rm{A}$ を $10$ 進法で表したとき、$1$ が連続して $9$ 回以上現れるところがある。

解答形式

半角数字のみで1行目に入力せよ。

問題文

$a$ を実数の定数とする。正の実数値をとる関数 $y(x)$ は何回でも微分可能で、

$$
\begin{cases}
2yy''''+(y'')^2=2y'y'''+a & (x \in {\mathbb R})\\
y'(0)=y''(0)=0 \\
y'''(0)=y''''(0)=1
\end{cases}
$$

を満たすとする。$\displaystyle a=\frac{50}{17}$ のとき、（$x$ が実数全体を動くときの）$y(x)$ の最小値は $\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエオ}}$ である。

解答形式

ア〜オには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。

問題文

$k>0$ を整数の定数とする。以下の条件

$$
{\rm AB}=8, {\rm AC}=k, \angle {\rm ABC}=60^{\circ}
$$

を満たす三角形 ${\rm ABC}$ が存在するような整数 $k$ の最小値は $\fbox{\text{ア}}$ である。

また，条件を満たす三角形 ${\rm ABC}$ が一意的に存在するような整数 $k$ の最小値は $\fbox{イ}$ である。

ただし，互いに合同であるような $2$ つの三角形は区別しない。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{イ}$ には，半角数字 0 - 9 のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{イ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。

問題文

（１）$\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{4}$ のとき、$\displaystyle \tan2\theta=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}}$ である。

（２）連立方程式

$$
\begin{cases}
x_1=x_2(2+x_1x_2) \\
x_2=x_3(2+x_2x_3) \\
x_3=x_4(2+x_3x_4) \\
x_4=x_1(2+x_4x_1)
\end{cases}
$$

を満たす実数 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の組は全部で $\fbox{エオ}$ 個あり、そのうち $\tan20^\circ < x_1 < \tan80^\circ$ を満たすような組は $\fbox{カ}$ 個ある。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「エオカ」を半角で1行目に入力せよ。

問題文

$$
1+(2^1+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)
$$

は、$2$ で最大何回割り切れるか。

解答形式

半角数字のみで答えよ。
たとえば $5555$ 回割り切れると答えるのであれば1行目に
5555
と入力せよ。

問題文

$n$ を正の整数とする。$f(n)=\sqrt{n^4+2n+61\ }$ が整数となるような $n$ を $1$ つ選び、そのときの $f(n)$ の値を答えよ。

なお、$f(n)$ が整数とならない場合や、答えた $f(n)$ の値が正しくない場合は不正解とする。

正解した場合は、まず解説を見よ。また、他のユーザーの回答も見てみよ。

解答形式

あなたが選んだ $n$ における $f(n)$ の値を半角数字で1行目に入力せよ。

問題文

以下の文がそれぞれ正しくなるように、空欄に $0$ から $9$ までの数字を埋めよ。ただし、同じ文字の空欄には同じ文字が入る。

（１）数列 $\fbox{ア}, \fbox{イ}, \fbox{ウ}, \fbox{エ},\fbox{オ}$ には、
$0$ が $\fbox{ア}$ 回、$1$ が $\fbox{イ}$ 回、$2$ が $\fbox{ウ}$ 回、$3$ が $\fbox{エ}$ 回、$4$ が $\fbox{オ}$ 回、それぞれ現れる。

（２）数列 $\fbox{カ}, \fbox{キ}, \fbox{ク}, \fbox{ケ}, \fbox{コ}, \fbox{サ}, \fbox{シ}, \fbox{ス}, \fbox{セ}, \fbox{ソ}$ には、
$0$ が $\fbox{カ}$ 回、$1$ が $\fbox{キ}$ 回、$2$ が $\fbox{ク}$ 回、$3$ が $\fbox{ケ}$ 回、$4$ が $\fbox{コ}$ 回、
$5$ が $\fbox{サ}$ 回、$6$ が $\fbox{シ}$ 回、$7$ が $\fbox{ス}$ 回、$8$ が $\fbox{セ}$ 回、$9$ が $\fbox{ソ}$ 回、それぞれ現れる。

解答形式

ア〜ソには、0から9までの数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウエオ」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「カキクケコサシスセソ」を半角で2行目に入力せよ。

問題文

$\dfrac{n^2+2020}{2n}$が自然数となるような自然数$n$の総和を求めよ。

解答形式

解答を半角数字で入力してください。

問題文

ある大きさの球から、ある直径の円柱をくりぬいた。円柱の軸は球の中心を通る。（ビーズのような形を想像してください）
この立体の体積が$36\pi$のとき、以下のうちいずれかの値が一意に定まる。

1. 円柱の底面の半径
2. 球の半径
3. 円柱の深さ

一意に定まるものの番号と、その値を求めよ。

解答形式

一意に定まるものの番号を半角数字で1行目に、その値を2行目に入れてください。2行目は整数または既約分数で答えてください。

解答例

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問題文

原点$O$とする$xy$平面上で点$(3,2)$を通る傾き負の直線と$x$軸,$y$軸との交点をそれぞれ$A,B$とするとき、$\triangle OAB$の面積の最小値を求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。
半角で入力してください。