[D] マトリョーシカ積分

masorata 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年10月17日10:00 正解数: 15 / 解答数: 25 (正答率: 60%) ギブアップ不可
積分 まそらた杯
この問題はコンテスト「第1回まそらた杯」の問題です。

全 25 件

回答日時 問題 解答者 結果
2021年4月9日15:28 [D] マトリョーシカ積分 tima_C
正解
2020年10月18日15:03 [D] マトリョーシカ積分 maborosigin
正解
2020年10月18日14:55 [D] マトリョーシカ積分 maborosigin
不正解 (1/2)
2020年10月18日14:52 [D] マトリョーシカ積分 maborosigin
不正解 (1/2)
2020年10月18日2:07 [D] マトリョーシカ積分 mathyuuugo
正解
2020年10月18日1:30 [D] マトリョーシカ積分 Ricky_pon
正解
2020年10月18日1:27 [D] マトリョーシカ積分 Ricky_pon
不正解 (1/2)
2020年10月17日20:54 [D] マトリョーシカ積分 tanimoto
正解
2020年10月17日20:54 [D] マトリョーシカ積分 tanimoto
不正解
2020年10月17日20:53 [D] マトリョーシカ積分 tanimoto
不正解
2020年10月17日20:37 [D] マトリョーシカ積分 okachan6666
正解
2020年10月17日20:35 [D] マトリョーシカ積分 okachan6666
不正解 (1/2)
2020年10月17日20:34 [D] マトリョーシカ積分 okachan6666
不正解 (1/2)
2020年10月17日17:54 [D] マトリョーシカ積分 tkg06269476
正解
2020年10月17日14:55 [D] マトリョーシカ積分 mochimochi
正解
2020年10月17日13:46 [D] マトリョーシカ積分 sksn1723
不正解 (1/2)
2020年10月17日13:24 [D] マトリョーシカ積分 nanka
正解
2020年10月17日12:54 [D] マトリョーシカ積分 Gin
正解
2020年10月17日12:14 [D] マトリョーシカ積分 num_amy_dbt
正解
2020年10月17日12:14 [D] マトリョーシカ積分 halphy
正解
2020年10月17日12:00 [D] マトリョーシカ積分 ofukufukufuku
正解
2020年10月17日11:57 [D] マトリョーシカ積分 ofukufukufuku
不正解 (1/2)
2020年10月17日11:52 [D] マトリョーシカ積分 ofukufukufuku
不正解 (1/2)
2020年10月17日11:32 [D] マトリョーシカ積分 nesya
正解
2020年10月17日11:11 [D] マトリョーシカ積分 fusshi
正解

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問題文

$N$ を正の整数として、以下の条件をすべて満たす数列 $\{a_n \}$ $(n=1,2,...)$ を考える。

・$a_1=1$
・$a_N=2020$
・すべての正の整数 $n$ について $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{4a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}- \frac{2}{a_{n+1}}+4$ が成り立つ。

このとき、$N=\fbox{アイ}$ である。また $a_7=\fbox{ウエオ}$ である。

解答形式

ア〜オには、0から9までの数字が入る。
$N=\fbox{アイ}$ の答えとして、文字列「アイ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
$a_7=\fbox{ウエオ}$ の答えとして、文字列「ウエオ」をすべて半角で2行目に入力せよ。

12月前

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問題文

$a$ を実数の定数とする。正の実数値をとる関数 $y(x)$ は何回でも微分可能で、

$$
\begin{cases}
2yy''''+(y'')^2=2y'y'''+a & (x \in {\mathbb R})\\
y'(0)=y''(0)=0 \\
y'''(0)=y''''(0)=1
\end{cases}
$$

を満たすとする。$\displaystyle a=\frac{50}{17}$ のとき、($x$ が実数全体を動くときの)$y(x)$ の最小値は $\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエオ}}$ である。

解答形式

ア〜オには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。

12月前

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問題文

$7^{7^7}$ を $777$ で割ったあまりを求めよ。

(注:$7^{7^7}$ は「 $7$ の「 $7$ の $7$ 乗」乗」を表すものとする。)

解答形式

$0$ 以上 $776$ 以下の整数を、半角数字で1行目に入力せよ。

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問題文

次の条件(a), (b)をともに満たす自然数($1$ 以上の整数)$\rm{A}$ の最小値を求めよ。

(a) $\rm{A}$ は連続する $3$ つの自然数の和である。

(b) $\rm{A}$ を $10$ 進法で表したとき、$1$ が連続して $9$ 回以上現れるところがある。

解答形式

半角数字のみで1行目に入力せよ。

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問題文

(1)$\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{4}$ のとき、$\displaystyle \tan2\theta=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}}$ である。

(2)連立方程式

$$
\begin{cases}
x_1=x_2(2+x_1x_2) \\
x_2=x_3(2+x_2x_3) \\
x_3=x_4(2+x_3x_4) \\
x_4=x_1(2+x_4x_1)
\end{cases}
$$

を満たす実数 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の組は全部で $\fbox{エオ}$ 個あり、そのうち $\tan20^\circ < x_1 < \tan80^\circ$ を満たすような組は $\fbox{カ}$ 個ある。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「エオカ」を半角で1行目に入力せよ。

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問題文

ある大きさの球から、ある直径の円柱をくりぬいた。円柱の軸は球の中心を通る。(ビーズのような形を想像してください)
この立体の体積が$36\pi$のとき、以下のうちいずれかの値が一意に定まる。

  1. 円柱の底面の半径
  2. 球の半径
  3. 円柱の深さ

一意に定まるものの番号と、その値を求めよ。

解答形式

一意に定まるものの番号を半角数字で1行目に、その値を2行目に入れてください。2行目は整数または既約分数で答えてください。

解答例

1
4


問題文

以下の文がそれぞれ正しくなるように、空欄に $0$ から $9$ までの数字を埋めよ。ただし、同じ文字の空欄には同じ文字が入る。

(1)数列 $\fbox{ア}, \fbox{イ}, \fbox{ウ}, \fbox{エ},\fbox{オ}$ には、
$0$ が $\fbox{ア}$ 回、$1$ が $\fbox{イ}$ 回、$2$ が $\fbox{ウ}$ 回、$3$ が $\fbox{エ}$ 回、$4$ が $\fbox{オ}$ 回、それぞれ現れる。

(2)数列 $\fbox{カ}, \fbox{キ}, \fbox{ク}, \fbox{ケ}, \fbox{コ}, \fbox{サ}, \fbox{シ}, \fbox{ス}, \fbox{セ}, \fbox{ソ}$ には、
$0$ が $\fbox{カ}$ 回、$1$ が $\fbox{キ}$ 回、$2$ が $\fbox{ク}$ 回、$3$ が $\fbox{ケ}$ 回、$4$ が $\fbox{コ}$ 回、
$5$ が $\fbox{サ}$ 回、$6$ が $\fbox{シ}$ 回、$7$ が $\fbox{ス}$ 回、$8$ が $\fbox{セ}$ 回、$9$ が $\fbox{ソ}$ 回、それぞれ現れる。

解答形式

ア〜ソには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウエオ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「カキクケコサシスセソ」を半角で2行目に入力せよ。

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※解答形式に注意!

図のように配置された3つの正三角形があります。青い線分の長さを求めてください。
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解答形式

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$$a_n=\frac{n!e^n}{n^{n+k}}$$
と定める。任意の自然数$n$に対して, $a_{n+1} < a_n$が成り立つような最小の$k$を求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。

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問題文

正の実数に対して定義され正の実数値をとる関数 $f$ が、任意の正の実数 $x,y$ に対して

$$
f\left(\frac{x+y+1}{xy}\right)=\frac{f(x)f(y)}{x+y+1}
$$

を満たすとき

$$
f\left(\frac{11}{21}\right) = \frac{\fbox{アイウエ}}{\fbox{オカキ}}
$$

である。

解答形式

ア〜キには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオカキ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。

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問題文

実数 $A,B,C \ (-\pi/2<A<B<C<\pi/2)$ が

$$
\frac{1+\tan^3{A}}{1+3\tan^2A}=\frac{1+\tan^3{B}}{1+3\tan^2B}=\frac{1+\tan^3{C}}{1+3\tan^2C}\\
$$

をみたして動くとき、$\tan{(A+B+C)}$ がとりうる値の範囲を求めよ。

解答形式

解は $ m<\tan{(A+B+C)}< M$ の形で、$m,M$ はどちらも整数である。
$m,M$の値をそれぞれ1,2行目に半角数字で入力せよ。
例えば $m=-33, M=4$ と解答する場合、1行目に「-33」、2行目に「4」と入力せよ。

(20/06/21: よりシンプルな問題文に直しました。答えはそのままです。)

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$n$ を整数とする。$x$ の整式

$$
x^4+(3n+2)x^3+(n^2+5)x^2+nx-1
$$

が整数係数の範囲でさらに因数分解できるような $n$ をすべて求めよ。

解答形式

$n$の値を小さい順に1,2,3,......行目にすべて半角で入力せよ。たとえば $n=-123, 45, 678$ と解答する場合、1行目に「-123」、2行目に「45」、3行目に「678」と入力せよ。