図のように配置された3つの正三角形があります。青い線分の長さを求めてください。 ただし、赤、紫、緑の線分の長さはそれぞれ1,2,3で、隣り合う正三角形の間の角は30°です。
答えは自然数$A,B$を用いて$A\sqrt{B}$の形に表せます。$A+B$を解答してください。 ただし、根号の中はできるだけ小さい自然数にしてください。
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緑色の線分の長さは1です。 このとき、円の面積を求めてください。 図中の赤点はそれを含む線分の中点です。
答えは(分数)×πの形になります。 分子を1行目に、分母を2行目に半角数字で入力してください。 ただし、既約分数の形で解答してください。 例: (10/3)π → 1行目に10、2行目に3
半径比が1:2の同心円と直角三角形です。 赤い線分の長さが12のとき、緑の三角形の面積を求めてください。
半角数字で解答してください。
△ABCと点Pをとり、△ABP, △BCP, △CAPの重心をそれぞれ$G_1, G_2, G_3$とします。青で示した3つの三角形の面積の和が10のとき、$△G_1G_2G_3$(赤い三角形)の面積を求めてください。
直径10の半円中に、直径の和が10となる2つの半円を図のように配置します。点Aを大半円の弧上にとり、線分AB,ACと小半円の交点をD,Eとします。 $BD^2+DE^2+EC^2$が最小となるようにしたとき、その最小値を求めてください。
三角形の外側に3つの正方形を図のように作りました。橙・緑・紫の線分の長さを3辺の長さとする三角形(赤い三角形)の面積が57のとき、元の三角形(青い三角形)の面積を求めてください。
ある大きさの球から、ある直径の円柱をくりぬいた。円柱の軸は球の中心を通る。(ビーズのような形を想像してください) この立体の体積が$36\pi$のとき、以下のうちいずれかの値が一意に定まる。
一意に定まるものの番号と、その値を求めよ。
一意に定まるものの番号を半角数字で1行目に、その値を2行目に入れてください。2行目は整数または既約分数で答えてください。
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青い三角形の面積が6のとき、外側の正方形の面積を求めてください。 なお、正方形と円は図中の赤で示した点で接します。
正方形の面積を半角数字で入力してください。
数列 $ \{ a_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、 $$ a_1=2,\ a_2=3,\ a_{n+1} = \max_{1 \leqq k \leqq n} \{ (n-k+1)a_k \}\ (n \geqq 2) $$
で定める。$ \{ a_n \} $ の一般項を求め、さらに $\log_{3}{(a_{6062})}$ の値を求めよ。
$\log_{3}{(a_{6062})}$ はある自然数となるので、その値を半角数字で答えよ。
実数$ a $ を $a=\sqrt[3]{1+\sqrt2} +\sqrt[3]{1-\sqrt2}$ で定める。以下の問いに答えよ。
⑴ $a^3+3a-2=0$ であることを示せ。また、$0<a<2$ を示せ。
⑵ $x$ について以下の恒等式が成り立つことを示せ。 $$ x^4+4x-3=(x^2+a)^2-2a(x-\frac{1}{a})^2 $$
⑶ 4次方程式 $x^4+4x-3=0$ の実数解を $a$ を用いて表せ。
⑶のみ解答せよ。解は2つ存在し、 $$ x= -\sqrt{\frac{ア}{イ}}\ \pm \ \sqrt{\sqrt{\frac{ウ}{エ}}-\frac{オ}{カ}} $$
の形である。ア~カのそれぞれには1から9までの自然数または文字$a$が入る。 ア~カに当てはまる数字または文字を、順にすべて半角で入力せよ。 たとえばア=2、イ=7、ウ=3、エ=5、オ=8、カ=$a$ と解答する場合は、 「27358a」と入力せよ。
正方形が2つ、図のように配置されています。赤い線分の長さが20のとき、緑で示した四角形の面積を求めてください。 ただし、図中の青点はそれぞれの正方形の対角線の交点です。
$xy$平面において点$O$を中心とする単位円上に異なる2点を取り、それぞれ$P_0,Q$とする(ただし$P_0,O,Q$は一直線上にないものとする)。また、$\angle P_0OQ$のうち小さい方の角を$\theta$とする$(0<\theta<\pi)$。 これから、以下の操作を$i=1,2,3,…,n$について計$n$回行う。
(操作) 弧$P_{i-1}Q$のうち短い方の弧を2等分するような単位円上の点を$P_i$とし、$\triangle P_{i-1}P_iQ$の面積を$S_i$とする。
このとき、 $$S_i=\sin\frac{\theta}{\fbox{ア}^i}-\frac{1}{2} \sin\frac{\theta}{\fbox{イ}^{i-1}}$$となるので、 $$\sum_{i=1}^n2^{i-1}S_i=\frac{1}{2}\left(\fbox{ウ}^n\sin\frac{\theta}{\fbox{エ}^n}-\sin\theta\right)$$となる。ここで$n\to\infty$とすると 右辺の極限値は、 $$\frac{1}{2}(\theta-\sin\theta)$$となり扇形$P_0OQ$から$\triangle P_0OQ$を取り除いた図形の面積に収束することが分かる(図形的にも明らか)。
$\fbox{ア}$~$\fbox{エ}$に入る整数を半角で1,2,…行目に入力してください。
正六角形2つが図のように配置されています。赤い線分と青い線分の長さの比が1:4であるとき、緑で示した角Yの角度を求めてください。 ただし、図中"center"で示した点は正六角形の外心です。
0~360までの半角数字で、「°」や「度」をつけずに解答してください。