求面積問題2

問題文

青い三角形の面積が6のとき、外側の正方形の面積を求めてください。
なお、正方形と円は図中の赤で示した点で接します。

解答形式

正方形の面積を半角数字で入力してください。

問題文

※解答形式に注意!

図のように配置された3つの正三角形があります。青い線分の長さを求めてください。
ただし、赤、紫、緑の線分の長さはそれぞれ1，2，3で、隣り合う正三角形の間の角は30°です。

解答形式

答えは自然数$A,B$を用いて$A\sqrt{B}$の形に表せます。$A+B$を解答してください。
ただし、根号の中はできるだけ小さい自然数にしてください。

問題文

$f_m(x)$という関数列を$f_1(x)=\log{x},f_{m+1}=\log{f_m(x)}$と定義します。ただし$\log{x}$は自然対数です。
具体的には$f_1(x)=\log{x},f_2(x)=\log{\log{x}},f_3(x)=\log{\log{\log{x}}},\ldots$となります。
このとき、
$$\lim_{n\to\infty}\{f_m(3^n)-f_m(2^n)\}=0$$
となるような最小の自然数$m$を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

半径比が1：2の同心円と直角三角形です。
赤い線分の長さが12のとき、緑の三角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

三角形の外側に3つの正方形を図のように作りました。橙・緑・紫の線分の長さを3辺の長さとする三角形（赤い三角形）の面積が57のとき、元の三角形（青い三角形）の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

△ABCと点Pをとり、△ABP, △BCP, △CAPの重心をそれぞれ$G_1, G_2, G_3$とします。青で示した3つの三角形の面積の和が10のとき、$△G_1G_2G_3$（赤い三角形）の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

図中の青い線分の長さはすべて10，赤で示した角はすべて等しいです。
このとき、緑色部分（凹四角形）の面積を求めてください。
解答形式に注意!

解答形式

$答えはA\sqrt{B}の形になります。(A,Bは自然数)$
$A+Bを解答してください。$
$<注意>$
$根号の中が最小となるようにしてください。$
$半角数字で解答してください。$
$例 : green area=10\sqrt{8}=20\sqrt{2}→A=20,B=2→22 と解答$

問題文

ある二つの自然数a,bは積が和より1000大きくどちらかが立方数だった
この時a,bの組を全て求めよ

解答形式

a<bとした時のaを小さい順に半角数字で解答せよ
例　(4,7)(8,91)の時は48

問題文

定積分

$$
\int_0^1 (\sqrt[7]{1-x^{11}}-\sqrt[11]{1-x^{7}})dx
$$

を求めよ。

解答形式

値は半角数字で記述せよ。無理数などを用いたい場合は必要ならばTeX記法により記述せよ。

問題文

正六角形2つが図のように配置されています。赤い線分と青い線分の長さの比が1:4であるとき、緑で示した角Yの角度を求めてください。
ただし、図中"center"で示した点は正六角形の外心です。

解答形式

0~360までの半角数字で、「°」や「度」をつけずに解答してください。

問題文

正方形が2つ、図のように配置されています。赤い線分の長さが20のとき、緑で示した四角形の面積を求めてください。
ただし、図中の青点はそれぞれの正方形の対角線の交点です。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$n\geq 2$ を自然数とする。$2$ 進数表記で
\begin{equation}
N=\underbrace{11\cdots 11}_n \underbrace{00\cdots 00} _ {n-1} {} _ {(2)}
\end{equation}と表される自然数 $N$ を考える。$n=13$ のとき，$N$ の正の約数の総和を求めなさい。

解答形式

$2$ 進数で答えなさい。