求面積問題3

問題文

緑色の線分の長さは１です。
このとき、円の面積を求めてください。
図中の赤点はそれを含む線分の中点です。

解答形式

答えは(分数)×πの形になります。
分子を１行目に、分母を２行目に半角数字で入力してください。
ただし、既約分数の形で解答してください。
例: (10/3)π　→　１行目に10、２行目に3

問題文

半円2つが図のように配置されています。
赤い線分と青い線分は長さの比が1:2です。
このとき、Xの角度を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。
「度」や「°」は付けないでください。
例：X=57°　→　57

問題

定積分

$$
\int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos{x}-x}{1+\sin{x}}dx
$$

を計算せよ。

回答形式

半角数字で答えよ。無理数や記号等を用いる場合はTeX形式で入力せよ。

問題文

三角形の外側に3つの正方形を図のように作りました。橙・緑・紫の線分の長さを3辺の長さとする三角形（赤い三角形）の面積が57のとき、元の三角形（青い三角形）の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

青い三角形の面積が6のとき、外側の正方形の面積を求めてください。
なお、正方形と円は図中の赤で示した点で接します。

解答形式

正方形の面積を半角数字で入力してください。

問題文

△ABCと点Pをとり、△ABP, △BCP, △CAPの重心をそれぞれ$G_1, G_2, G_3$とします。青で示した3つの三角形の面積の和が10のとき、$△G_1G_2G_3$（赤い三角形）の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

直径10の半円中に、直径の和が10となる2つの半円を図のように配置します。点Aを大半円の弧上にとり、線分AB,ACと小半円の交点をD,Eとします。
$BD^2+DE^2+EC^2$が最小となるようにしたとき、その最小値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

ピザが1枚ずつ乗った $N\;(\geq 2)$ 枚の皿が横一列に並んでいます．ピザには表と裏があり，表には具がのっていて，裏にはのっていません．はじめ，すべての皿のピザは表が上になっています．これらのピザに対して，次の操作Xを考えます．

操作X：

1. 隣り合う2枚の皿に着目し，左側の皿に乗っているピザをひっくり返し，右側の皿の一番上に重ねる．ピザが複数枚乗っている場合は，ピザを重ねたまままるごとひっくり返す．
2. 左側の皿を取り除き，皿どうしのすき間を詰める．

この操作Xを$\;N-1\;$回繰り返すと，1枚の皿にピザの塔ができます．操作Xの $N-1$ 回の繰り返しをピザの調理ということにします．ピザの塔を構成するピザを，上から順に$\;P_i\; (i=1,\cdots, N)\;$とし，$P_i$ が表を上に向けているとき「表」，裏を上に向けているとき「裏」と書くことにすると，ピザの塔は「裏裏裏表」のように表すことができます．

$N=6$とします．「裏裏裏裏表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

半径比が1：2の同心円と直角三角形です。
赤い線分の長さが12のとき、緑の三角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

おかぴんはチョコレート入りの袋が3袋入った箱を持っていて、これから食べようとしています。
しかし、おかぴんは怠惰なので食べ終わった空の袋を捨てずに、再び箱の中に入れてしまいます。
箱の中から1袋ずつ取り出して、それがチョコレートの入った袋だったなら食べて箱の中に空の袋を戻し、それが空の袋だったなら食べずにそのまま箱の中に戻す、という試行を繰り返します。
チョコレートの入った袋を取り出す確率も空の袋を取り出す確率も同様に確からしいとするとき、箱の中の全てのチョコレートを食べ終えるまでの試行回数の期待値を求めてください。

解答形式

答えは$\frac{\fboxア}{\fboxイ}$(ただし既約分数)となります。$\fboxア\fboxイ$に入る数字をそれぞれ1,2行目に半角で入力してください。

問題文

図のように正六角形・扇形・その接線があります。Xで示した角の大きさを求めてください。

解答形式

0以上360未満の半角数字で解答してください。
※単位（°や度など)をつけず、度数法で解答。

問題文

$n\geq 2$ を自然数とする。$2$ 進数表記で
\begin{equation}
N=\underbrace{11\cdots 11}_n \underbrace{00\cdots 00} _ {n-1} {} _ {(2)}
\end{equation}と表される自然数 $N$ を考える。$n=13$ のとき，$N$ の正の約数の総和を求めなさい。

解答形式

$2$ 進数で答えなさい。