[A] ひとつ答えよ

masorata 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 中学数学
2020年12月5日18:00 正解数: 34 / 解答数: 41 (正答率: 82.9%) ギブアップ不可
整数問題 心理テスト まそらた杯
この問題はコンテスト「第2回まそらた杯」の問題です。

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$f(1)=8$ であることはすぐに気づいたものの、さすがにつまらないと思ったのか、あるいは他の $n$ ではどうなるのか気になったのか、とにかく $n=2$ も確かめてみた結果 $f(2)=\sqrt{81}=9$ に気づいて $9$ と回答したあなた。あなたは好奇心が強く、また少し数学が好きなはずです。
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(真面目な)解答

$f(n)=\sqrt{n^4+2n+61\ }$ が整数となるような正の整数 $n$ が $n=1,2,6$ だけであることを示す。

まず、$n\geq1$ において $n^4<n^4+2n+61=(f(n))^2$ が成り立つ。次に

$$
\begin{eqnarray}
(n^2+1)^2-(f(n))^2&=&(n^4+2n^2+1)-(n^4+2n+61)\\
&=&2n^2-2n-60\\
&=&2(n+5)(n-6)
\end{eqnarray}
$$

であるから、$n=6$ のとき

$$
(f(6))^2=(6^2+1)^2=37^2\\
\therefore f(6)=37
$$

である。また $n\geq7$ のとき $(n^2+1)^2-(f(n))^2>0$ であるから

$$
n^4<(f(n))^2<(n^2+1)^2\\
\therefore n^2 < f(n) < n^2+1
$$

が成り立ち、このとき $f(n)$ が整数となることはない。よってあとは $1\leq n\leq5$ を調べればよく、

$$
\begin{eqnarray}
f(1)&=&\sqrt{64}=8\\
f(2)&=&\sqrt{81}=9\\
f(3)&=&\sqrt{148}=2\sqrt{37}\\
f(4)&=&\sqrt{325}=5\sqrt{13}\\
f(5)&=&\sqrt{696}=2\sqrt{6\times29}\\
\end{eqnarray}
$$

であるから、$f(n)$ が整数となるような $n$ は $n=1,2,6$ だけであることがわかる。


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$$
\begin{cases}
x_1=x_2(2+x_1x_2) \\
x_2=x_3(2+x_2x_3) \\
x_3=x_4(2+x_3x_4) \\
x_4=x_1(2+x_4x_1)
\end{cases}
$$

を満たす実数 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の組は全部で $\fbox{エオ}$ 個あり、そのうち $\tan20^\circ < x_1 < \tan80^\circ$ を満たすような組は $\fbox{カ}$ 個ある。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「エオカ」を半角で1行目に入力せよ。

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解答形式

半角数字のみで1行目に入力せよ。


問題文

以下の文がそれぞれ正しくなるように、空欄に $0$ から $9$ までの数字を埋めよ。ただし、同じ文字の空欄には同じ文字が入る。

(1)数列 $\fbox{ア}, \fbox{イ}, \fbox{ウ}, \fbox{エ},\fbox{オ}$ には、
$0$ が $\fbox{ア}$ 回、$1$ が $\fbox{イ}$ 回、$2$ が $\fbox{ウ}$ 回、$3$ が $\fbox{エ}$ 回、$4$ が $\fbox{オ}$ 回、それぞれ現れる。

(2)数列 $\fbox{カ}, \fbox{キ}, \fbox{ク}, \fbox{ケ}, \fbox{コ}, \fbox{サ}, \fbox{シ}, \fbox{ス}, \fbox{セ}, \fbox{ソ}$ には、
$0$ が $\fbox{カ}$ 回、$1$ が $\fbox{キ}$ 回、$2$ が $\fbox{ク}$ 回、$3$ が $\fbox{ケ}$ 回、$4$ が $\fbox{コ}$ 回、
$5$ が $\fbox{サ}$ 回、$6$ が $\fbox{シ}$ 回、$7$ が $\fbox{ス}$ 回、$8$ が $\fbox{セ}$ 回、$9$ が $\fbox{ソ}$ 回、それぞれ現れる。

解答形式

ア〜ソには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウエオ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「カキクケコサシスセソ」を半角で2行目に入力せよ。

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(注:$7^{7^7}$ は「 $7$ の「 $7$ の $7$ 乗」乗」を表すものとする。)

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$$
1+(2^1+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)
$$

は、$2$ で最大何回割り切れるか。

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半角数字のみで答えよ。
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5555
と入力せよ。

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このとき、$N=\fbox{アイ}$ である。また $a_7=\fbox{ウエオ}$ である。

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ア〜オには、0から9までの数字が入る。
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$$
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$$

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ただし,互いに合同であるような $2$ つの三角形は区別しない。

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$$
f\left(\frac{x+y+1}{xy}\right)=\frac{f(x)f(y)}{x+y+1}
$$

を満たすとき

$$
f\left(\frac{11}{21}\right) = \frac{\fbox{アイウエ}}{\fbox{オカキ}}
$$

である。

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ア〜キには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオカキ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。

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  2. 球の半径
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一意に定まるものの番号と、その値を求めよ。

解答形式

一意に定まるものの番号を半角数字で1行目に、その値を2行目に入れてください。2行目は整数または既約分数で答えてください。

解答例

1
4