全問題一覧
問題文
$\sin \angle BAC = \dfrac{7}{8}$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ について，$B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $D$，$C$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $E$ とします．また，線分 $BC$ 上に点 $F$ を $\angle DEF = 90^\circ$ を満たすように取ったところ $BF=2, CF=6$ が成立しました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください．ただし，答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
解答形式
半角整数値で解答してください．
問題文
垂心を$H$とする鋭角三角形$ABC$があり、$AB=9,AC=11,CH=7$を満たしています。
$△AHC$の外接円を$Γ$とし、直線$BH$と$Γ$の交点のうち$H$でない点を$D$として、線分$CD$の中点を$M$とします。
線分$HM$と線分$AC$の交点を$E$としたときの、$DE$の長さの$2$乗を求めてください。
解答形式
求める値は互いに素な整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表されるので、$a+b$を解答してください。
問題文
点$O_1,O_2$を中心とする円$\omega_1,\omega_2$が異なる$2$点$A,B$で交わっている。これらの共通外接線のうち直線$O_1O_2$に関して$B$と同じ側に接点を持つ物を$l$とし、$\omega_1,\omega_2$との接点を$S_1,S_2$とする。
直線$AB$と$l$の交点を$X$とし、$X$から$\omega_1,\omega_2$に引いた($l$以外の)接線の接点を$T_1,T_2$とすると、$O_1,T_2,S_2$ / $O_2,T_1,S_1$はそれぞれ一直線上にあった。
$\omega_1$の半径が$\sqrt{3}$、$S_1X=\sqrt{2}$のとき、五角形$AO_1S_1S_2O_2$の面積を求めてください。
解答形式
求める値は正整数$a$及び、互いに素な正整数$b,c$、平方因子を持たない正整数$d$により$a+\dfrac{b\sqrt{d}}{c}$
と表せるので、$a+b+c+d$を半角英数字で入力してください。
問題文
$\triangle{ABC}$ は $AB=AC,∠{BAC}=40°$ を満たす。線分$BC$の中点$M$と$\triangle{ABC}$の内部の点$P$について、直線$AM$に関して直線$PM$を対称移動させた直線を$m$、$m$と直線$AP$の交点を$Q$とすると、$PB＞PC,∠BPC=110°,∠AQM=15°$を満たしました。このとき、$∠PBC$の大きさを度数法で求めてください。ただし、答えは互いに素な正の整数$a,b$を用いて$(\dfrac{a}{b})°$と表されるので、$a+b$ を解答してください。
解答形式
例）半角数字で入力してください。
問題文
正方形$ABCD$の外接円の劣弧$BC$上に点$E$がある。$AE+DE=10$ が成り立っているとき、$BE+CE$の値を求めよ。
解答形式
答は非負整数$a,b$を用いて$-a+\sqrt{b}$と表されるので、$a+b$の値を半角数字で解答してください。
問題文
$\angle ABC $ と $\angle BCA$ が鋭角であるような $\triangle ABC$ について，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．また，$M$ から辺 $AB,AC$ におろした垂線の足をそれぞれ $P, Q$ とすると、線分 $AM, BQ, CP$ が一点で交わります．
$$ AB = 12, \ \ BC= 20 $$
のとき，$\triangle ABC$ の面積の二乗としてありうる値の総和を解答してください。
解答形式
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．
問題文
△ABC とその外接円 O があり、OA = 3、AB = 4 である。半直線 AO と線分 BC が交わるように点 C をとり、その交点を D とする。BD : DC = 2 : 1 となるときの OD の長さを全て求めなさい。ただし、点 C は弧 AB 上にないものとする。
解答形式
答えはある整数 $a, b, c$ を用いて$$\rm{OD} = \frac{b \pm \sqrt{c}}{a}$$と表せるので、一行目に $a$、二行目に $b$、三行目に $c$ を半角で入力してください。
問題文
$\triangle ABC$において$AC$,$AB$の中点をそれぞれ$M$,$N$とし, 線分$BM$,$CN$上(端点を除く)にそれぞれ点$D$,$E$をとります. 直線$AD$,$AE$と線分$BC$の交点をそれぞれ$P$,$Q$としたとき,$$\frac{AP･PD}{PB}=MN-PC$$$$\frac{AQ･QE}{QC}=MN-QB$$が成立しました. $∠ADB=101°$,$∠BEN=62°$,$∠DCB=41°$のとき, $∠AED$の角度を度数法で解答してください.
解答形式
半角数字で入力してください.
問題文
正三角形 $ ABC$ の辺 $AB,BC,CA$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ があり，
$$PQ=3,\ \ \ \ QR=5,\ \ \ \ RP=7,\ \ \ \ AB=9$$ を満たしています．このとき，線分 $AQ$ の長さは互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．
